La frazione come misura e la frazione irriducibile — Matematica, 11–13
Una frazione misura una parte rispetto a un'unità, e fra tutti i suoi nomi equivalenti quella irriducibile è il più corto.
Cosa dicono i due numeri
Una frazione è una misura. Prendi un'unità che si può tagliare dove vuoi, come una striscia, una lunghezza o un'area. Il denominatore dice in quante parti uguali è divisa l'unità; il numeratore dice quante di quelle parti prendi. Così 3/4 di una striscia sono 3 delle 4 parti uguali. Se cambi l'unità, cambia la misura: è sempre la misura di qualcosa, confrontata con un'unità.
L'unità decide la frazione
Pensa ai pezzi di un tangram. Un triangolo grande ha la stessa area di 4 triangoli piccoli. Con il triangolo piccolo come unità, il grande misura 4; con il triangolo grande come unità, il piccolo misura 1/4. Stessi pezzi, altra unità, altri numeri. E una misura ha più nomi (2/4, 3/6 e 4/8 sono tutte 1/2), quindi conviene sceglierne uno solo: la frazione irriducibile, il nome più corto.
Semplificare 12/18 fino in fondo
Una striscia di lunghezza 1 è divisa in 18 parti uguali e se ne colorano 12: la parte colorata misura 12/18. Passo 1: i divisori di 12 sono 1, 2, 3, 4, 6, 12 e quelli di 18 sono 1, 2, 3, 6, 9, 18. Passo 2: il maggiore in comune è 6. Passo 3: 12 ÷ 6 = 2 e 18 ÷ 6 = 3, quindi 12/18 = 2/3. Passo 4: 2 e 3 hanno in comune solo il divisore 1, perciò 2/3 non si semplifica più: è irriducibile. Allo stesso modo, 8/20 = 2/5, dividendo per 4.
Fermarsi un passo troppo presto
Molti dividono una volta, vedono numeri più piccoli e si fermano: 24/36 diviso per 2 dà 12/18, e sembra finito. Ma 12 e 18 si dividono ancora entrambi per 2, per 3 e per 6, quindi non è irriducibile. Non chiederti «ho diviso?». Chiediti «i due numeri hanno ancora un divisore comune oltre a 1?». Dividere per il massimo comune divisore, 12, risolve tutto in una volta: 24 ÷ 12 = 2 e 36 ÷ 12 = 3, quindi 24/36 = 2/3.
Su righelli e nastri
Un righello è una macchina di frazioni: l'unità è 1 cm, diviso in 10 parti uguali (millimetri). Un intervallo di 7 mm è 7/10 di centimetro, cioè 0,7 cm, e 5 mm sono 5/10, cioè 1/2 cm. E 3/4 di un nastro lungo 2 m sono 1,5 m. Ogni volta che dici una frazione, chiediti: di quale unità?
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