Der Bruch als Maßzahl und der vollständig gekürzte Bruch — 11–13
Ein Bruch misst ein Stück im Vergleich zu einer Einheit, und von allen gleichwertigen Namen ist der vollständig gekürzte der kürzeste.
Was die beiden Zahlen sagen
Ein Bruch ist eine Maßzahl. Nimm eine Einheit, die man überall zerschneiden kann, etwa einen Streifen, eine Länge oder eine Fläche. Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile die Einheit geteilt wird; der Zähler sagt, wie viele dieser Teile du nimmst. So sind 3/4 eines Streifens 3 der 4 gleichen Teile. Änderst du die Einheit, ändert sich die Maßzahl: Es ist immer das Maß von etwas, verglichen mit einer Einheit.
Die Einheit bestimmt den Bruch
Denk an die Teile eines Tangrams. Ein großes Dreieck hat denselben Flächeninhalt wie 4 kleine Dreiecke. Mit dem kleinen Dreieck als Einheit misst das große 4; mit dem großen Dreieck als Einheit misst das kleine 1/4. Gleiche Teile, andere Einheit, andere Zahlen. Und ein Maß hat mehrere Namen (2/4, 3/6 und 4/8 sind alle 1/2); darum einigt man sich auf einen: den vollständig gekürzten Bruch, den kürzesten Namen.
12/18 ganz kürzen
Ein Streifen der Länge 1 wird in 18 gleiche Teile geteilt und 12 werden gefärbt: Der gefärbte Teil misst 12/18. Schritt 1: Die Teiler von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12, die von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9, 18. Schritt 2: Der größte gemeinsame ist 6. Schritt 3: 12 ÷ 6 = 2 und 18 ÷ 6 = 3, also 12/18 = 2/3. Schritt 4: 2 und 3 haben nur den Teiler 1 gemeinsam, also lässt sich 2/3 nicht mehr kürzen: Der Bruch ist vollständig gekürzt. Ebenso 8/20 = 2/5, durch 4 geteilt.
Einen Schritt zu früh aufhören
Viele teilen einmal, sehen kleinere Zahlen und hören auf: 24/36 durch 2 ergibt 12/18, und das wirkt fertig. Aber 12 und 18 lassen sich noch beide durch 2, durch 3 und durch 6 teilen, also ist der Bruch nicht vollständig gekürzt. Frag nicht „Habe ich gekürzt?“. Frag „Haben die beiden Zahlen noch einen gemeinsamen Teiler außer 1?“. Durch den größten gemeinsamen Teiler, 12, kürzt du auf einmal: 24 ÷ 12 = 2 und 36 ÷ 12 = 3, also 24/36 = 2/3.
An Linealen und Bändern
Ein Lineal ist eine Bruchmaschine: Die Einheit ist 1 cm, in 10 gleiche Teile geteilt (Millimeter). Ein Abstand von 7 mm sind 7/10 Zentimeter, also 0,7 cm, und 5 mm sind 5/10, das heißt 1/2 cm. Und 3/4 eines 2 m langen Bandes sind 1,5 m. Wenn du einen Bruch nennst, frag dich immer: von welcher Einheit?
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