La fraction comme mesure et la fraction irréductible — 11–13
Une fraction mesure une partie par rapport à une unité, et parmi tous ses noms équivalents l'irréductible est le plus court.
Ce que disent les deux nombres
Une fraction est une mesure. Prends une unité qu'on peut couper n'importe où, comme une bande, une longueur ou une aire. Le dénominateur dit en combien de parts égales l'unité est partagée ; le numérateur dit combien de ces parts tu prends. Ainsi, 3/4 d'une bande, ce sont 3 des 4 parts égales. Si tu changes l'unité, la mesure change : c'est toujours la mesure de quelque chose, comparée à une unité.
L'unité décide de la fraction
Pense aux pièces d'un tangram. Un grand triangle a la même aire que 4 petits triangles. Avec le petit triangle pour unité, le grand mesure 4 ; avec le grand triangle pour unité, le petit mesure 1/4. Mêmes pièces, autre unité, autres nombres. Et une mesure a plusieurs noms (2/4, 3/6 et 4/8 valent tous 1/2), donc mieux vaut convenir d'un seul : la fraction irréductible, le nom le plus court.
Simplifier 12/18 jusqu'au bout
Une bande de longueur 1 est partagée en 18 parts égales et on en colorie 12 : la partie coloriée mesure 12/18. Étape 1 : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 et ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18. Étape 2 : le plus grand en commun est 6. Étape 3 : 12 ÷ 6 = 2 et 18 ÷ 6 = 3, donc 12/18 = 2/3. Étape 4 : 2 et 3 n'ont que le diviseur 1 en commun, donc 2/3 ne se simplifie plus : elle est irréductible. De même, 8/20 = 2/5, en divisant par 4.
S'arrêter une étape trop tôt
Beaucoup divisent une fois, voient des nombres plus petits et s'arrêtent : 24/36 divisé par 2 donne 12/18, et cela semble fini. Mais 12 et 18 sont encore tous deux divisibles par 2, par 3 et par 6, donc elle n'est pas irréductible. Ne demande pas « ai-je divisé ? ». Demande « les deux nombres ont-ils encore un diviseur commun autre que 1 ? ». Diviser par le plus grand diviseur commun, 12, règle tout d'un coup : 24 ÷ 12 = 2 et 36 ÷ 12 = 3, donc 24/36 = 2/3.
Sur les règles et les rubans
Une règle est une machine à fractions : l'unité est 1 cm, partagé en 10 parts égales (millimètres). Un écart de 7 mm, c'est 7/10 de centimètre, soit 0,7 cm, et 5 mm font 5/10, c'est-à-dire 1/2 cm. Et 3/4 d'un ruban de 2 m de long, cela fait 1,5 m. Chaque fois que tu dis une fraction, demande-toi : de quelle unité ?
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