Calcolo mentale con le frazioni — Matematica, 11–13
Sommare e moltiplicare frazioni più in fretta, scambiando e raggruppando i termini, senza ridurre sempre allo stesso denominatore.
Le stesse proprietà, ora con le frazioni
La proprietà commutativa e quella associativa valgono anche con le frazioni. Perciò, nell'addizione, puoi prima unire gli addendi che hanno già lo stesso denominatore e si completano: 1/3 + 2/7 + 2/3 = (1/3 + 2/3) + 2/7 = 1 + 2/7 = 9/7. Nella moltiplicazione cerchi coppie che danno 1 o che si semplificano: 3/4 × 4/3 = 1 e 2/5 × 7 × 5/2 = (2/5 × 5/2) × 7 = 7. Non devi ridurre tutto allo stesso denominatore.
Più breve del denominatore comune
Il denominatore comune funziona sempre, ma con più denominatori dà numeri grandi ed errori facili. Le proprietà offrono una scorciatoia quando i numeri lo permettono: vedi frazioni che completano un intero o che si semplificano, e il calcolo sta nella testa. È anche più facile da spiegare: «1/6 e 5/6 fanno un intero» dice più di una pila di passaggi con 42 al denominatore.
Una somma e un prodotto senza denominatore comune
Somma: 5/6 + 2/7 + 1/6 + 5/7. Cambiando l'ordine: (5/6 + 1/6) + (2/7 + 5/7) = 6/6 + 7/7 = 1 + 1 = 2. Con il denominatore comune 42 sarebbe 35/42 + 12/42 + 7/42 + 30/42 = 84/42 = 2: giusto, ma più lungo. Prodotto: 2/3 × 9 × 5/4 × 8. Abbinando ogni frazione al numero che la semplifica, (2/3 × 9) × (5/4 × 8) = 6 × 10 = 60. Moltiplicando tutto in una volta si ottiene 720/12 = 60.
La coppia non è la stessa
L'errore ragionevole è pensare che la coppia che «si annulla» sia la stessa nell'addizione e nella moltiplicazione. Nella moltiplicazione, 3/4 × 4/3 = 1. Ma nell'addizione, 3/4 + 4/3 = 9/12 + 16/12 = 25/12, che non è 1. Nell'addizione, la coppia che completa un intero è quella che dà somma 1: 3/4 + 1/4 = 1. Prima di raggruppare, chiediti: sto sommando o moltiplicando? Per sommare, cerca parti che completano un intero; per moltiplicare, inversi e numeri che semplificano.
Tempi, misure e parti di parti
Le proprietà aiutano a sommare tempi e misure: 3/4 h + 1/2 h + 1/4 h = (3/4 + 1/4) + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2 h, cioè 1 h 30 min. Aiutano anche a prendere una frazione di una frazione: 2/3 di 3/4 di 12 è (2/3 × 3/4) × 12 = 1/2 × 12 = 6. Cerca prima coppie che si completano o si semplificano, e solo dopo il denominatore comune.
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