Kopfrechnen mit Brüchen — Mathematik, 11–13
Brüche schneller addieren und multiplizieren, indem man Glieder tauscht und zusammenfasst, ohne immer auf einen Nenner zu bringen.
Dieselben Gesetze, jetzt mit Brüchen
Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten auch für Brüche. Beim Addieren kannst du deshalb zuerst die Summanden zusammenfassen, die schon denselben Nenner haben und sich ergänzen: 1/3 + 2/7 + 2/3 = (1/3 + 2/3) + 2/7 = 1 + 2/7 = 9/7. Beim Multiplizieren suchst du Paare, die 1 ergeben oder sich kürzen lassen: 3/4 × 4/3 = 1 und 2/5 × 7 × 5/2 = (2/5 × 5/2) × 7 = 7. Du musst nicht alles auf einen Nenner bringen.
Kürzer als der gemeinsame Nenner
Der gemeinsame Nenner funktioniert immer, liefert bei mehreren Nennern aber große Zahlen und leichte Fehler. Die Rechengesetze bieten eine Abkürzung, wenn die Zahlen es zulassen: Du erkennst Brüche, die ein Ganzes ergänzen oder sich kürzen lassen, und die Rechnung passt in den Kopf. Auch das Erklären ist leichter: „1/6 und 5/6 ergeben ein Ganzes“ sagt mehr als ein Haufen Schritte mit 42 im Nenner.
Eine Summe und ein Produkt ohne gemeinsamen Nenner
Summe: 5/6 + 2/7 + 1/6 + 5/7. Mit anderer Reihenfolge: (5/6 + 1/6) + (2/7 + 5/7) = 6/6 + 7/7 = 1 + 1 = 2. Mit dem gemeinsamen Nenner 42 wäre es 35/42 + 12/42 + 7/42 + 30/42 = 84/42 = 2: richtig, aber länger. Produkt: 2/3 × 9 × 5/4 × 8. Jeden Bruch mit der Zahl gepaart, die ihn kürzt: (2/3 × 9) × (5/4 × 8) = 6 × 10 = 60. Alles auf einmal multipliziert ergibt 720/12 = 60.
Das Paar ist nicht dasselbe
Der naheliegende Fehler: zu glauben, das Paar, das sich „aufhebt“, sei bei Addition und Multiplikation dasselbe. Bei der Multiplikation gilt 3/4 × 4/3 = 1. Bei der Addition aber ist 3/4 + 4/3 = 9/12 + 16/12 = 25/12, nicht 1. Bei der Addition ergänzen sich Teile zu einem Ganzen, wenn ihre Summe 1 ist: 3/4 + 1/4 = 1. Frage dich vor dem Zusammenfassen: Addiere ich oder multipliziere ich? Beim Addieren suchst du Teile, die ein Ganzes ergänzen; beim Multiplizieren Kehrwerte und Zahlen, die sich kürzen lassen.
Zeiten, Maße und Teile von Teilen
Die Rechengesetze helfen beim Addieren von Zeiten und Maßen: 3/4 h + 1/2 h + 1/4 h = (3/4 + 1/4) + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2 h, also 1 h 30 min. Sie helfen auch, einen Bruchteil eines Bruchteils zu nehmen: 2/3 von 3/4 von 12 ist (2/3 × 3/4) × 12 = 1/2 × 12 = 6. Suche zuerst Paare, die sich ergänzen oder kürzen lassen, und greife erst dann zum gemeinsamen Nenner.
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