Calcul mental avec des fractions — Mathématiques, 11–13
Additionner et multiplier des fractions plus vite, en échangeant et en regroupant les termes, sans toujours réduire au même dénominateur.
Les mêmes propriétés, maintenant avec des fractions
La commutativité et l'associativité valent aussi avec les fractions. Ainsi, en additionnant, tu peux d'abord regrouper les termes qui ont déjà le même dénominateur et se complètent : 1/3 + 2/7 + 2/3 = (1/3 + 2/3) + 2/7 = 1 + 2/7 = 9/7. En multipliant, tu cherches des paires qui donnent 1 ou qui se simplifient : 3/4 × 4/3 = 1 et 2/5 × 7 × 5/2 = (2/5 × 5/2) × 7 = 7. Pas besoin de tout réduire au même dénominateur.
Plus court que le dénominateur commun
Le dénominateur commun marche toujours, mais avec plusieurs dénominateurs il donne de grands nombres et des erreurs faciles. Les propriétés offrent un raccourci quand les nombres s'y prêtent : tu repères des fractions qui complètent un entier ou qui se simplifient, et le calcul tient dans la tête. C'est aussi plus facile à expliquer : « 1/6 et 5/6 font un entier » en dit plus qu'un tas d'étapes avec 42 au dénominateur.
Une somme et un produit sans dénominateur commun
Somme : 5/6 + 2/7 + 1/6 + 5/7. En changeant l'ordre : (5/6 + 1/6) + (2/7 + 5/7) = 6/6 + 7/7 = 1 + 1 = 2. Avec le dénominateur commun 42, ce serait 35/42 + 12/42 + 7/42 + 30/42 = 84/42 = 2 : juste, mais plus long. Produit : 2/3 × 9 × 5/4 × 8. En associant chaque fraction au nombre qui la simplifie, (2/3 × 9) × (5/4 × 8) = 6 × 10 = 60. Tout multiplier d'un coup donne 720/12 = 60.
La paire n'est pas la même
L'erreur raisonnable est de croire que la paire qui « s'annule » est la même dans l'addition et dans la multiplication. Dans la multiplication, 3/4 × 4/3 = 1. Mais dans l'addition, 3/4 + 4/3 = 9/12 + 16/12 = 25/12, ce qui n'est pas 1. Dans l'addition, la paire qui complète un entier est celle dont la somme vaut 1 : 3/4 + 1/4 = 1. Avant de regrouper, demande-toi : j'additionne ou je multiplie ? Pour additionner, cherche des parts qui complètent un entier ; pour multiplier, des inverses et des nombres qui simplifient.
Durées, mesures et parts de parts
Les propriétés aident à additionner des durées et des mesures : 3/4 h + 1/2 h + 1/4 h = (3/4 + 1/4) + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2 h, soit 1 h 30 min. Elles aident aussi à prendre une fraction d'une fraction : 2/3 de 3/4 de 12, c'est (2/3 × 3/4) × 12 = 1/2 × 12 = 6. Cherche d'abord des paires qui se complètent ou se simplifient, et seulement ensuite le dénominateur commun.
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