Potenze: base, esponente e potenze di 10 — Matematica, 11–13
La potenza come prodotto di fattori uguali: base ed esponente, potenze di 10 e perché moltiplicare sempre lo stesso numero cresce così in fretta.
Potenza: moltiplicare più volte lo stesso numero
Invece di scrivere 3 × 3 × 3 × 3, si scrive 3⁴ (si legge «tre alla quarta»). Il 3 è la base — il fattore che si ripete — e il 4 è l'esponente — quante volte compare. 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Una potenza è un prodotto di fattori uguali, e sia la base sia l'esponente sono numeri naturali.
Perché le potenze crescono così in fretta
Osserva la differenza tra sommare e moltiplicare più volte lo stesso numero. Con dieci numeri 2: 2 + 2 + … + 2 = 20, ma 2 × 2 × … × 2 = 2¹⁰ = 1024. Ogni nuovo fattore moltiplica il risultato invece di aggiungergli un poco: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Per questo, con una base naturale maggiore di 1, la potenza cresce sempre più in fretta al crescere dell'esponente.
Potenze di base 10: 10, 100, 1000, 10 000
10 = 10¹. 100 = 10 × 10 = 10². 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴. Nota: l'esponente è il numero di zeri dopo l'1. E funziona anche al contrario: 10⁵ è un 1 seguito da cinque zeri, 100 000; e 10⁶ è 1 000 000. Così un numero enorme diventa corto: 1 000 000 = 10⁶, molto più rapido che contare gli zeri.
La trappola: moltiplicare la base per l'esponente
L'errore più comune: leggere 2⁵ come 2 × 5 = 10. Ma 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32: l'esponente dice quante volte si scrive il 2, non per cosa si moltiplica. Allo stesso modo, 10³ non è 30: è 10 × 10 × 10 = 1000. Un indizio per non sbagliare: una potenza con base 2 o più ed esponente 3 o più è sempre maggiore di base × esponente. Se il risultato è piccolo, diffida.
Dove vedi le potenze fuori dalla scuola
In una sfida sui social, ogni persona invita 3 nuove persone non ancora invitate. Al 1º giro sono 3 persone, al 2º sono 3² = 9, al 3º sono 3³ = 27, al 4º sono 3⁴ = 81, e al 6º già 3⁶ = 729. Una notizia che si diffonde così raggiunge molte persone molto in fretta. Se ognuno ne invitasse 2 invece di 3, il 6º giro darebbe solo 2⁶ = 64.
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