Potenzen: Basis, Exponent und Zehnerpotenzen — Mathematik, 11–13
Die Potenz als Produkt gleicher Faktoren: Basis und Exponent, Zehnerpotenzen und warum wiederholtes Malnehmen so schnell wächst.
Eine Potenz: dieselbe Zahl mehrmals malnehmen
Statt 3 · 3 · 3 · 3 schreibt man 3⁴ (gelesen „3 hoch 4“). Die 3 ist die Basis – der Faktor, der sich wiederholt – und die 4 ist der Exponent – wie oft er vorkommt. 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. Eine Potenz ist ein Produkt gleicher Faktoren, und sowohl Basis als auch Exponent sind natürliche Zahlen.
Warum Potenzen so schnell wachsen
Achte auf den Unterschied zwischen mehrfachem Addieren und mehrfachem Multiplizieren derselben Zahl. Mit zehn Zweien: 2 + 2 + … + 2 = 20, aber 2 · 2 · … · 2 = 2¹⁰ = 1024. Jeder neue Faktor vervielfacht das Ergebnis, statt ein wenig dazuzugeben: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Darum wächst eine Potenz mit natürlicher Basis größer als 1 immer schneller, je größer der Exponent wird.
Zehnerpotenzen: 10, 100, 1000, 10 000
10 = 10¹. 100 = 10 · 10 = 10². 1000 = 10 · 10 · 10 = 10³. 10 000 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴. Beachte: Der Exponent ist die Anzahl der Nullen hinter der 1. Es geht auch rückwärts: 10⁵ ist eine 1 mit fünf Nullen, 100 000; und 10⁶ ist 1 000 000. So wird eine riesige Zahl kurz: 1 000 000 = 10⁶, viel schneller als Nullen zu zählen.
Die Falle: Basis mal Exponent rechnen
Der häufigste Fehler: 2⁵ als 2 · 5 = 10 zu lesen. Aber 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32: Der Exponent sagt, wie oft die 2 geschrieben wird, nicht womit man malnimmt. Genauso ist 10³ nicht 30, sondern 10 · 10 · 10 = 1000. Ein Hinweis, um nicht hineinzutappen: Eine Potenz mit Basis 2 oder mehr und Exponent 3 oder mehr ist immer größer als Basis · Exponent. Ist dein Ergebnis klein, sei misstrauisch.
Wo du Potenzen außerhalb der Schule siehst
Bei einer Social-Media-Challenge lädt jede Person 3 neue Personen ein, die noch nicht eingeladen waren. In Runde 1 sind das 3 Personen, in Runde 2 sind es 3² = 9, in Runde 3 sind es 3³ = 27, in Runde 4 sind es 3⁴ = 81, und in Runde 6 schon 3⁶ = 729. Eine Nachricht, die sich so verbreitet, erreicht sehr schnell viele Menschen. Würde jeder nur 2 statt 3 einladen, ergäbe Runde 6 nur 2⁶ = 64.
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