Puissances : base, exposant et puissances de 10 — Mathématiques, 11–13
La puissance comme produit de facteurs égaux : base et exposant, puissances de 10, et pourquoi multiplier sans cesse le même nombre fait grandir si vite.
Une puissance : multiplier plusieurs fois le même nombre
Au lieu d'écrire 3 × 3 × 3 × 3, on écrit 3⁴ (on lit « trois puissance quatre »). Le 3 est la base — le facteur qui se répète — et le 4 est l'exposant — le nombre de fois où il apparaît. 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Une puissance est un produit de facteurs égaux, et la base comme l'exposant sont des entiers naturels.
Pourquoi les puissances grandissent si vite
Regarde la différence entre additionner et multiplier plusieurs fois le même nombre. Avec dix fois le nombre 2 : 2 + 2 + … + 2 = 20, mais 2 × 2 × … × 2 = 2¹⁰ = 1024. Chaque nouveau facteur multiplie le résultat au lieu de lui ajouter un peu : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Voilà pourquoi, avec une base entière supérieure à 1, la puissance croît de plus en plus vite quand l'exposant augmente.
Puissances de base 10 : 10, 100, 1000, 10 000
10 = 10¹. 100 = 10 × 10 = 10². 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³. 10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴. Remarque : l'exposant est le nombre de zéros après le 1. Et ça marche à l'envers : 10⁵ est un 1 suivi de cinq zéros, 100 000 ; et 10⁶ est 1 000 000. Ainsi un très grand nombre devient court : 1 000 000 = 10⁶, bien plus rapide que de compter les zéros.
Le piège : multiplier la base par l'exposant
L'erreur la plus courante : lire 2⁵ comme 2 × 5 = 10. Mais 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 : l'exposant dit combien de fois on écrit le 2, pas par quoi on multiplie. De même, 10³ n'est pas 30 : c'est 10 × 10 × 10 = 1000. Un indice pour ne pas tomber dans le piège : une puissance de base 2 ou plus et d'exposant 3 ou plus est toujours plus grande que base × exposant. Si ton résultat est petit, méfie-toi.
Où tu vois des puissances en dehors de l'école
Dans un défi sur les réseaux sociaux, chaque personne invite 3 nouvelles personnes pas encore invitées. Au 1er tour, cela fait 3 personnes, au 2e tour 3² = 9, au 3e tour 3³ = 27, au 4e tour 3⁴ = 81, et au 6e tour déjà 3⁶ = 729. Une nouvelle qui se répand ainsi touche très vite beaucoup de monde. Si chacun en invitait 2 au lieu de 3, le 6e tour ne donnerait que 2⁶ = 64.
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