Equazioni di secondo grado e radici — Matematica, 14–17 anni
Come un’incognita al quadrato crea una relazione curva e come le sue radici mostrano dove la curva raggiunge zero.
Una regola curva
Un’equazione di secondo grado contiene x², quindi il suo grafico è di solito una parabola e non una retta. Risolverla significa trovare i valori di x che rendono l’espressione uguale a zero: sono le radici o soluzioni. Una parabola può attraversare l’asse x due volte, toccarlo una volta oppure non incontrarlo.
Perché compaiono i quadrati
I quadrati compaiono quando entrano in gioco aree, prodotti di lunghezze variabili o movimenti curvi. Un rettangolo con lati x e x + 3 ha area x² + 3x, quindi le domande sulla sua area diventano equazioni di secondo grado. L’equazione permette di invertire il processo e trovare la lunghezza sconosciuta.
Scomporre una quadratica
Risolvi x² − 5x + 6 = 0. Cerca due numeri il cui prodotto sia 6 e la cui somma sia −5: sono −2 e −3. Quindi x² − 5x + 6 diventa (x − 2)(x − 3). Un prodotto è zero quando uno dei fattori è zero, perciò x = 2 oppure x = 3. La sostituzione verifica entrambe le risposte.
La soluzione dimenticata
Spesso si trova una radice e ci si ferma, perché le equazioni lineari hanno di solito una sola risposta. Una quadratica può averne due, quindi bisogna porre uguale a zero ciascun fattore. Controlla anche il contesto: una lunghezza negativa può risolvere l’algebra, ma non descrivere un lato reale.
Forme e traiettorie
I modelli di secondo grado possono descrivere la traiettoria di una palla, la forma di un’antenna parabolica o l’area di un disegno che cambia con una lunghezza. Il modello può trovare un’altezza massima o il punto in cui una quantità diventa zero. È un’approssimazione quando forze o forme reali non seguono una parabola perfetta.
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