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Quadratische Gleichungen und Nullstellen — Mathematik, 14–17 Jahre

Wie ein quadrierter Unbekannter eine Kurve erzeugt und wie ihre Nullstellen zeigen, wo die Kurve null erreicht.

Eine gekrümmte Regel

Eine quadratische Gleichung enthält x²; ihr Graph ist deshalb meist eine Parabel und keine Gerade. Sie zu lösen bedeutet, die x-Werte zu finden, die den Ausdruck gleich null machen; das sind die Nullstellen oder Lösungen. Eine Parabel kann die x-Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder sie verfehlen.

Warum Quadrate vorkommen

Quadrate treten auf, wenn es um Flächen, Produkte veränderlicher Längen oder gekrümmte Bewegungen geht. Ein Rechteck mit den Seiten x und x + 3 hat die Fläche x² + 3x; Fragen dazu werden daher quadratisch. Die Gleichung kehrt den Vorgang um und findet die unbekannte Länge.

Eine quadratische Gleichung faktorisieren

Löse x² − 5x + 6 = 0. Suche zwei Zahlen mit dem Produkt 6 und der Summe −5: Das sind −2 und −3. Daher wird x² − 5x + 6 zu (x − 2)(x − 3). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist; also gilt x = 2 oder x = 3. Einsetzen prüft beide Lösungen.

Die vergessene Lösung

Oft findet man eine Nullstelle und hört auf, weil lineare Gleichungen meist eine Lösung haben. Eine quadratische Gleichung kann jedoch zwei besitzen; deshalb muss man jeden Faktor gleich null setzen. Prüfe auch den Zusammenhang: Eine negative Länge kann algebraisch stimmen, aber keine echte Seite sein.

Formen und Flugbahnen

Quadratische Modelle können die Flugbahn eines geworfenen Balls, die Form einer Satellitenschüssel oder die Fläche eines Entwurfs beschreiben, die sich mit einer Länge verändert. Damit lassen sich eine maximale Höhe oder ein Nullpunkt finden. Es bleibt eine Näherung, wenn echte Kräfte oder Formen keiner perfekten Parabel folgen.

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