Ecuaciones cuadráticas y raíces — Matemáticas, 14–17 años
Cómo una incógnita al cuadrado crea una relación curva y cómo sus raíces indican dónde la curva llega a cero.
Una regla curva
Una ecuación cuadrática contiene x², por lo que su gráfico suele ser una parábola y no una recta. Resolverla significa hallar los valores de x que hacen que la expresión sea cero; son sus raíces o soluciones. Una parábola puede cruzar el eje x dos veces, tocarlo una vez o no alcanzarlo.
Por qué aparecen cuadrados
Los cuadrados aparecen cuando intervienen áreas, productos de longitudes variables o movimientos curvos. Un rectángulo con lados x y x + 3 tiene área x² + 3x, así que las preguntas sobre su área se convierten en ecuaciones cuadráticas. La ecuación permite invertir el proceso y hallar la longitud desconocida.
Factorizar una cuadrática
Resuelve x² − 5x + 6 = 0. Busca dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea −5: son −2 y −3. Así, x² − 5x + 6 se convierte en (x − 2)(x − 3). Un producto vale cero cuando uno de sus factores vale cero, de modo que x = 2 o x = 3. Sustituir comprueba ambas respuestas.
La solución olvidada
A menudo se encuentra una raíz y se para, porque las ecuaciones lineales suelen tener una respuesta. Una cuadrática puede tener dos, así que hay que igualar cada factor a cero. Comprueba también el contexto: una longitud negativa puede resolver el álgebra, pero no representar un lado real.
Formas y trayectorias
Los modelos cuadráticos pueden describir la trayectoria de una pelota, la forma de una antena parabólica o el área de un diseño que cambia con una longitud. El modelo puede localizar una altura máxima o el punto donde una cantidad llega a cero. Es una aproximación cuando las fuerzas o formas reales no siguen una parábola perfecta.
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