Équations du second degré et racines — Mathématiques, 14–17 ans
Comment une inconnue au carré crée une relation courbe, et comment ses racines indiquent où cette courbe atteint zéro.
Une règle courbe
Une équation du second degré contient x² ; son graphique est donc généralement une parabole et non une droite. La résoudre consiste à trouver les valeurs de x qui rendent l’expression nulle : ce sont les racines ou solutions. Une parabole peut couper l’axe des x deux fois, le toucher une fois ou ne pas l’atteindre.
Pourquoi des carrés apparaissent
Les carrés apparaissent lorsqu’il est question d’aires, de produits de longueurs variables ou de mouvements courbes. Un rectangle de côtés x et x + 3 a pour aire x² + 3x ; les questions sur cette aire deviennent donc des équations du second degré. L’équation permet d’inverser le processus et de retrouver la longueur inconnue.
Factoriser une équation
Résolvons x² − 5x + 6 = 0. Cherchons deux nombres dont le produit vaut 6 et la somme −5 : ce sont −2 et −3. Ainsi, x² − 5x + 6 devient (x − 2)(x − 3). Un produit est nul si l’un de ses facteurs est nul ; donc x = 2 ou x = 3. Une substitution vérifie les deux réponses.
La solution oubliée
On trouve souvent une racine puis on s’arrête, car une équation linéaire a généralement une seule réponse. Une équation du second degré peut en avoir deux : il faut donc annuler chaque facteur. Vérifie aussi le contexte : une longueur négative peut être algébriquement correcte, mais impossible pour un côté réel.
Formes et trajectoires
Les modèles du second degré peuvent décrire la trajectoire d’une balle, la forme d’une antenne parabolique ou l’aire d’un dessin qui dépend d’une longueur. Le modèle peut trouver une hauteur maximale ou le point où une quantité devient nulle. Il reste une approximation lorsque les forces ou les formes réelles ne suivent pas une parabole parfaite.
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