Crescita esponenziale — Matematica, 14–17 anni
Come una variazione percentuale ripetuta crea curve che salgono sempre più rapidamente. Matematica, 14–17 anni.
L’idea
Nella crescita lineare si aggiunge ogni volta la stessa quantità. Nella crescita esponenziale si usa ogni volta lo stesso fattore, quindi l’aumento diventa maggiore man mano che la quantità cresce. Una popolazione che si moltiplica per 1,2 ogni anno segue y = a × 1,2^n.
Perché conta
Aggiungere un numero fisso non descrive situazioni in cui la dimensione attuale cambia la variazione successiva. Interessi, infezioni e popolazioni spesso crescono di una percentuale di ciò che esiste già. I modelli esponenziali permettono di calcolare e confrontare questi cambiamenti proporzionali ripetuti.
Un esempio svolto
Un conto parte da 500 € e cresce del 4% ogni anno. Il fattore è 1,04, quindi dopo tre anni l’importo è 500 × 1,04^3. Poiché 1,04^3 = 1,124864, il risultato è 562,43 €, arrotondato al centesimo.
L’errore comune
È comprensibile calcolare ogni anno il 4% dei 500 € iniziali e ottenere 560 €. Questa è una crescita lineare, perché si aggiungono sempre 20 €. Nella crescita esponenziale, ogni percentuale si calcola sull’importo più recente, quindi gli aumenti successivi sono leggermente maggiori.
Dove compare
Le banche usano modelli esponenziali per l’interesse composto, e gli scienziati per la crescita iniziale di popolazioni o infezioni. Una batteria del telefono di solito non segue un modello esponenziale per tutta la ricarica, quindi non bisogna estendere il modello oltre la situazione descritta. Controlla l’intervallo di tempo e le ipotesi.
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