Croissance exponentielle — Mathématiques, 14–17 ans
Comment une variation en pourcentage répétée crée des courbes qui montent de plus en plus vite.
L’idée
Dans une croissance linéaire, on ajoute toujours la même quantité. Dans une croissance exponentielle, on utilise toujours le même facteur, donc l’augmentation devient plus grande quand la quantité grandit. Une population multipliée par 1,2 chaque année suit y = a × 1,2^n.
Pourquoi c’est utile
Ajouter un nombre fixe ne décrit pas les situations où la taille actuelle modifie la variation suivante. Les intérêts, les infections et les populations augmentent souvent d’un pourcentage de ce qui existe déjà. Les modèles exponentiels rendent ces changements proportionnels répétés calculables et comparables.
Un exemple résolu
Un compte commence avec 500 € et augmente de 4 % par an. Le facteur est 1,04, donc après trois ans le montant est 500 × 1,04^3. Comme 1,04^3 = 1,124864, on obtient 562,43 €, arrondi au centime.
L’erreur fréquente
Il est raisonnable de calculer chaque année 4 % des 500 € de départ et d’obtenir 560 €. C’est une croissance linéaire, car on ajoute toujours 20 €. Dans une croissance exponentielle, chaque pourcentage porte sur le montant le plus récent, donc les augmentations suivantes sont un peu plus grandes.
Où on le rencontre
Les banques utilisent des modèles exponentiels pour les intérêts composés, et les scientifiques pour la croissance initiale des populations ou des infections. Une batterie de téléphone ne suit généralement pas un modèle exponentiel pendant toute sa charge : il ne faut donc pas étendre le modèle au-delà de la situation décrite. Vérifie la durée et les hypothèses.
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