Exponentielles Wachstum — Mathematik, 14–17 Jahre

Wie eine wiederholte prozentuale Veränderung Kurven erzeugt, die immer schneller steigen. Mathematik, 14–17 Jahre.

Die Idee

Bei linearem Wachstum wird jedes Mal derselbe Betrag addiert. Beim exponentiellen Wachstum wird jedes Mal derselbe Faktor verwendet, deshalb wird der Zuwachs mit der Menge größer. Eine Population, die sich jährlich mit 1,2 multipliziert, folgt y = a × 1,2^n.

Warum es wichtig ist

Das Addieren eines festen Betrags beschreibt keine Situationen, in denen die aktuelle Größe die nächste Veränderung beeinflusst. Zinsen, Infektionen und Populationen wachsen oft um einen Prozentsatz dessen, was schon vorhanden ist. Exponentialmodelle machen solche wiederholten proportionalen Veränderungen berechenbar.

Ein durchgerechnetes Beispiel

Ein Sparkonto beginnt mit 500 € und wächst jedes Jahr um 4 %. Der Faktor ist 1,04, also beträgt der Wert nach drei Jahren 500 × 1,04^3. Weil 1,04^3 = 1,124864 ist, ergibt sich auf Cent gerundet 562,43 €.

Der häufige Fehler

Es ist naheliegend, jedes Jahr 4 % der ursprünglichen 500 € zu berechnen und 560 € zu erhalten. Das ist lineares Wachstum, weil immer 20 € addiert werden. Beim exponentiellen Wachstum wird jeder Prozentsatz auf den neuesten Betrag angewendet, daher werden die späteren Zuwächse etwas größer.

Wo es vorkommt

Banken verwenden Exponentialmodelle für Zinseszinsen, Wissenschaftler für das anfängliche Wachstum von Populationen oder Infektionen. Ein Handy-Akku verhält sich normalerweise nicht während des gesamten Ladevorgangs exponentiell, daher darf man das Modell nicht über die beschriebene Situation hinaus anwenden. Prüfe Zeitraum und Annahmen.

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