Probabilità condizionata — Matematica, 14–17 anni
Come una nuova informazione cambia la probabilità di un evento. Matematica, 14–17 anni.
L’idea
Una probabilità può cambiare quando scopri che alcuni casi non sono più possibili. «La probabilità di pioggia» è diversa da «la probabilità di pioggia sapendo che il cielo è nuvoloso». La probabilità condizionata considera solo i casi compatibili con l’informazione disponibile.
Perché conta
Spesso si considera un indizio come se non cambiasse nulla, oppure come se dimostrasse la risposta. Il problema reale è aggiornare una probabilità senza ignorare i casi eliminati dall’indizio. L’idea nasce dai giochi d’azzardo e oggi sostiene medicina, test, assicurazioni e decisioni in condizioni d’incertezza.
Un esempio svolto
Un sacchetto contiene 3 gettoni rossi e 2 blu. Se ne estraggono due senza reinserimento. Sapendo che il primo è rosso, restano 2 rossi e 2 blu: la probabilità che il secondo sia rosso è quindi 2 su 4, cioè 1/2. La condizione cambia il contenuto prima della seconda estrazione.
L’errore comune
È naturale continuare a usare 3/5 per la seconda estrazione, perché era la probabilità iniziale del rosso. Però sapere che è uscito un gettone rosso lascia solo quattro gettoni, di cui due rossi. Le estrazioni non sono indipendenti quando il gettone non viene reinserito.
Dove compare
Il risultato di un test medico si interpreta insieme a sintomi, età e frequenza della malattia. Un risultato positivo può avere significati diversi per una malattia rara o comune. La probabilità condizionata aiuta a stimare la probabilità di essere malati dopo il risultato, senza confonderla con la probabilità di un positivo quando la malattia è presente.
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