Probabilité conditionnelle — Mathématiques, 14–17 ans
Comment une nouvelle information change la probabilité d’un événement. Mathématiques, 14–17 ans.
L’idée
Une probabilité peut changer quand on apprend que certains cas ne sont plus possibles. « La probabilité qu’il pleuve » n’est pas la même que « la probabilité qu’il pleuve sachant que le ciel est couvert ». La probabilité conditionnelle ne garde que les cas compatibles avec l’information connue.
Pourquoi c’est utile
On traite souvent un indice comme s’il ne changeait rien, ou comme s’il prouvait la réponse. Le vrai problème consiste à mettre à jour une probabilité sans oublier les cas éliminés par l’indice. Cette idée vient des jeux de hasard et sert aujourd’hui en médecine, dans les tests, l’assurance et les décisions incertaines.
Un exemple résolu
Un sac contient 3 jetons rouges et 2 bleus. On en tire deux sans remise. Sachant que le premier est rouge, il reste 2 rouges et 2 bleus : la probabilité que le second soit rouge est donc 2 sur 4, soit 1/2. La condition change le contenu avant le deuxième tirage.
L’erreur fréquente
Il est naturel de continuer à utiliser 3/5 pour le deuxième tirage, car c’était la probabilité initiale du rouge. Mais savoir qu’un jeton rouge est sorti laisse seulement quatre jetons, dont deux rouges. Les tirages ne sont pas indépendants quand le jeton n’est pas remis.
Où elle apparaît
Un résultat médical s’interprète avec les symptômes, l’âge et la fréquence de la maladie. Un résultat positif peut avoir des significations différentes pour une maladie rare ou courante. La probabilité conditionnelle aide à estimer la probabilité d’être malade après le résultat, sans la confondre avec celle d’un test positif quand la maladie est présente.
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