Bedingte Wahrscheinlichkeit — Mathematik, 14–17
Wie eine neue Information die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses verändert. Mathematik, 14–17 Jahre.
Die Idee
Eine Wahrscheinlichkeit kann sich ändern, wenn man erfährt, dass einige Fälle nicht mehr möglich sind. „Die Wahrscheinlichkeit für Regen“ ist etwas anderes als „die Wahrscheinlichkeit für Regen, wenn der Himmel schon bewölkt ist“. Die bedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet nur passende Fälle.
Warum es wichtig ist
Oft behandelt man einen Hinweis so, als würde er nichts ändern, oder als würde er die Antwort beweisen. Das eigentliche Problem ist, eine Wahrscheinlichkeit zu aktualisieren, ohne die durch den Hinweis ausgeschlossenen Fälle zu übersehen. Die Idee entstand bei Glücksspielen und hilft heute in Medizin, Tests, Versicherungen und unsicheren Entscheidungen.
Ein durchgerechnetes Beispiel
In einem Beutel liegen 3 rote und 2 blaue Spielsteine. Zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Wenn der erste rot ist, bleiben 2 rote und 2 blaue übrig; die Wahrscheinlichkeit für Rot beim zweiten Zug beträgt also 2 von 4, also 1/2. Die Bedingung verändert den Inhalt vor dem zweiten Zug.
Der häufige Fehler
Es ist naheliegend, beim zweiten Zug weiter 3/5 zu verwenden, weil das anfangs die Wahrscheinlichkeit für Rot war. Doch nach einem roten Stein bleiben nur vier Steine, davon zwei rote. Die Ziehungen sind nicht unabhängig, wenn der Stein nicht zurückgelegt wird.
Wo sie vorkommt
Ein medizinisches Testergebnis wird zusammen mit Symptomen, Alter und der Häufigkeit der Krankheit beurteilt. Ein positives Ergebnis kann bei einer seltenen und einer häufigen Krankheit Unterschiedliches bedeuten. Die bedingte Wahrscheinlichkeit hilft, die Krankheitswahrscheinlichkeit nach dem Ergebnis zu bestimmen, statt sie mit der Trefferwahrscheinlichkeit bei Krankheitsfällen zu verwechseln.
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