Mathématiques 7e année : Valeur absolue et opposé d'un nombre
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Mesurer à quelle distance de zéro se trouve un nombre, et trouver celui qui est de l'autre côté, à la même distance.
À quelle distance, et l'autre côté
La valeur absolue d'un nombre est la distance entre le point qui le représente sur la droite graduée et zéro. On écrit |−5| = 5, et on lit « valeur absolue de moins cinq ». Aussi |5| = 5 et |0| = 0 : une distance n'est jamais négative. L'opposé d'un nombre est celui qui est à la même distance de zéro, de l'autre côté : l'opposé de 5 est −5, et l'opposé de −5 est 5, ce qui s'écrit −(−5) = 5. L'opposé de 0 est 0 lui-même.
Distance et sens sont deux informations
Un thermomètre à −4 °C et un autre à 4 °C sont tous deux à 4 degrés de zéro, mais de part et d'autre. La valeur absolue ne garde que « à quelle distance » et le signe garde « de quel côté ». Donc |−4| = |4| = 4 : un nombre et son opposé sont toujours à la même distance de zéro, car la droite est symétrique par rapport à 0. Teste-le avec n'importe quel entier, puis justifie : en pliant la droite en 0, chaque nombre tombe sur son opposé.
Distances et opposés de cinq nombres
Prends −12, 5, −5, 0 et 9. Valeurs absolues : |−12| = 12, |5| = 5, |−5| = 5, |0| = 0, |9| = 9. Opposés : 12, −5, 5, 0 et −9. Lesquels ont pour valeur absolue 5 ? Ceux qui sont à 5 unités de zéro, un de chaque côté : 5 et −5. Si quelqu'un dit seulement « valeur absolue 5 », deux entiers sont possibles ; le signe tranche. Compare avec les opposés : l'opposé de 5 est −5 et celui de −5 est 5, donc 5 et −5 sont opposés l'un de l'autre.
Un moins devant ne donne pas toujours un négatif
L'erreur raisonnable est de croire qu'un « − » devant donne toujours un nombre négatif, et d'écrire −(−8) = −8. Mais −(−8) se lit « l'opposé de −8 », et l'opposé d'un négatif est positif : −(−8) = 8. Autre faux pas : croire que |5| n'existe pas parce que 5 n'a pas de signe moins à enlever : il existe, |5| = 5. Et ne confonds pas opposé et inverse : l'opposé de 8 est −8, pas 1/8.
La distance sans le sens
Souvent, seul compte « combien », pas « dans quel sens ». Le niveau −3 et le niveau 3 sont tous deux à 3 étages du rez-de-chaussée ; une machine qui dévie de −2 mm ou de +2 mm se trompe de 2 mm dans les deux cas ; une dette de 20 € et un solde de 20 € ont la même valeur absolue, 20 €, mais des sens opposés. Chaque fois que tu sépares la taille du sens, tu utilises la valeur absolue et l'opposé.
Teste ce que tu as appris
Sur la droite graduée, −7 est à 7 unités de 0. Quelle est la valeur absolue de −7 ?
- a) 7, la distance de −7 à 0
- b) −7, car la valeur absolue garde le signe
- c) Il n'en a pas, car −7 est négatif
Bonne réponse: a) 7, la distance de −7 à 0 — Oui : la valeur absolue est la distance à zéro, et une distance n'est jamais négative : |−7| = 7.
Quels entiers ont pour valeur absolue 6 ?
- a) 6
- b) −6
- c) 6, −6
- d) 6, −6, 0
Bonne réponse: c) 6, −6 — Oui : 6 unités à droite de 0, c'est 6, et 6 unités à gauche, c'est −6. Deux entiers, opposés l'un de l'autre.
Quel est l'opposé de −8 ?
- a) −8, car il a déjà le signe moins
- b) 8
- c) 1/8
Bonne réponse: b) 8 — Oui : 8 est à la même distance de zéro que −8, de l'autre côté. Donc −(−8) = 8.
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