Mathématiques 7e année : Additionner et soustraire des nombres rationnels
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Les nombres rationnels s'additionnent et se soustraient avec les règles des entiers relatifs, en fraction ou en décimal ; soustraire, c'est ajouter l'opposé, et les propriétés de l'addition raccourcissent le calcul mental.
Mêmes règles, d'autres nombres
Tu additionnes et soustrais déjà des entiers relatifs. Avec les rationnels, les règles ne changent pas, seuls les nombres changent : ce peuvent être des fractions ou des décimaux. Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé : a − b = a + (−b). Si les fractions ont des dénominateurs différents, écris-les d'abord avec un dénominateur commun, puis additionne les numérateurs. Par exemple −1/2 + 1/3 = −3/6 + 2/6 = −1/6, et 0,7 − 1,2 = 0,7 + (−1,2) = −0,5.
Des propriétés pour regrouper
L'addition des nombres rationnels est commutative (a + b = b + a) et associative ((a + b) + c = a + (b + c)) ; ajouter 0 ne change rien et un nombre plus son opposé donne 0. On peut donc regrouper les termes faciles à additionner : dénominateurs égaux, décimaux qui font un entier, ou opposés. La soustraction n'est ni commutative ni associative : 1/2 − 3/4 = −1/4, mais 3/4 − 1/2 = 1/4. Transforme d'abord les soustractions en additions d'opposés, puis regroupe librement.
Un algorithme, un raccourci
A : −5/6 + 3/4. Étape 1 : le plus petit commun multiple de 6 et 4 est 12. Étape 2 : −5/6 = −10/12 et 3/4 = 9/12. Étape 3 : −10/12 + 9/12 = −1/12. B : 4,8 − 7,3 + 1,2 de tête. Écris 4,8 + (−7,3) + 1,2 et change l'ordre : (4,8 + 1,2) + (−7,3) = 6 − 7,3 = −1,3. Vérification : 4,8 − 7,3 = −2,5 et −2,5 + 1,2 = −1,3.
Moins un nombre négatif
Calcule 3/4 − (−1/2). Beaucoup écrivent 3/4 − 1/2 = 1/4 et perdent le deuxième signe moins. Mais soustraire −1/2, c'est ajouter son opposé, +1/2 : 3/4 − (−1/2) = 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4. Le résultat augmente, comme quand on t'enlève une dette et que tu es plus riche. Vérification rapide : un moins devant un nombre négatif entre parenthèses devient un plus.
Soldes, profondeurs, températures
Un compte au solde de −18,40 € reçoit 25 € et paie 9,75 € : −18,40 + 25 − 9,75 = −3,15 €, il est donc encore à découvert. Un plongeur à −7,5 m qui remonte de 2,25 m est à −5,25 m. Dans chaque cas, tu ajoutes les variations à la valeur de départ, et le signe du résultat dit de quel côté de zéro tu te retrouves. Les tableurs et les calculatrices font exactement cela quand ils additionnent une colonne de décimaux positifs et négatifs.
Teste ce que tu as appris
Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Quelle addition est égale à 2/3 − 5/6 ?
- a) 2/3 + 5/6
- b) −2/3 + 5/6
- c) −2/3 − 5/6
- d) 2/3 + (−5/6)
Bonne réponse: d) 2/3 + (−5/6) — Oui : seul le nombre soustrait est remplacé par son opposé. 2/3 + (−5/6) = 4/6 − 5/6 = −1/6.
À l'aube, un thermomètre indique −3,5 °C. Le matin il monte de 6,25 °C et l'après-midi il baisse de 4,5 °C. Que marque-t-il à la fin ?
- a) −5,25 °C
- b) 7,25 °C
- c) −1,75 °C
- d) 1,75 °C
Bonne réponse: c) −1,75 °C — Oui : −3,5 + 6,25 = 2,75, et 2,75 − 4,5 = −1,75. Il finit sous zéro.
Combien font 1/3 − (−1/6) ?
- a) 1/6
- b) 1/2
- c) −1/2
- d) 2/9
Bonne réponse: b) 1/2 — Oui : 1/3 − (−1/6) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
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