Mathematik Klasse 7: Rationale Zahlen addieren und subtrahieren
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Rationale Zahlen werden mit den Regeln der ganzen Zahlen addiert und subtrahiert, als Bruch oder als Dezimalzahl; Subtrahieren heißt, die Gegenzahl addieren, und die Rechengesetze der Addition verkürzen das Kopfrechnen.
Dieselben Regeln, andere Zahlen
Ganze Zahlen mit Vorzeichen addierst und subtrahierst du schon. Bei rationalen Zahlen ändern sich die Regeln nicht, nur die Zahlen: Es können Brüche oder Dezimalzahlen sein. Eine Zahl zu subtrahieren heißt, ihre Gegenzahl zu addieren: a − b = a + (−b). Haben Brüche verschiedene Nenner, schreibst du sie zuerst mit gemeinsamem Nenner und addierst dann die Zähler. Zum Beispiel −1/2 + 1/3 = −3/6 + 2/6 = −1/6 und 0,7 − 1,2 = 0,7 + (−1,2) = −0,5.
Gesetze, die das Umordnen erlauben
Die Addition rationaler Zahlen ist kommutativ (a + b = b + a) und assoziativ ((a + b) + c = a + (b + c)); die Addition von 0 ändert nichts, und eine Zahl plus ihre Gegenzahl ergibt 0. So kannst du leicht addierbare Summanden zusammenfassen: gleiche Nenner, Dezimalzahlen, die ein Ganzes ergeben, oder Gegenzahlen. Die Subtraktion ist weder kommutativ noch assoziativ: 1/2 − 3/4 = −1/4, aber 3/4 − 1/2 = 1/4. Wandle daher Subtraktionen zuerst in Additionen von Gegenzahlen um und ordne dann frei um.
Ein Verfahren, eine Abkürzung
A: −5/6 + 3/4. Schritt 1: Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 4 ist 12. Schritt 2: −5/6 = −10/12 und 3/4 = 9/12. Schritt 3: −10/12 + 9/12 = −1/12. B: 4,8 − 7,3 + 1,2 im Kopf. Schreibe 4,8 + (−7,3) + 1,2 und vertausche die Reihenfolge: (4,8 + 1,2) + (−7,3) = 6 − 7,3 = −1,3. Probe: 4,8 − 7,3 = −2,5 und −2,5 + 1,2 = −1,3.
Minus eine negative Zahl
Berechne 3/4 − (−1/2). Viele schreiben 3/4 − 1/2 = 1/4 und verlieren das zweite Minuszeichen. Doch −1/2 zu subtrahieren heißt, seine Gegenzahl +1/2 zu addieren: 3/4 − (−1/2) = 3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4. Das Ergebnis wird größer, so wie du reicher wirst, wenn dir eine Schuld erlassen wird. Kurzer Check: Ein Minus vor einer negativen Zahl in Klammern wird zu einem Plus.
Kontostände, Tiefen, Temperaturen
Ein Konto mit dem Saldo −18,40 € erhält 25 € und zahlt 9,75 €: −18,40 + 25 − 9,75 = −3,15 €, es ist also weiter überzogen. Ein Taucher in −7,5 m, der um 2,25 m aufsteigt, ist bei −5,25 m. In jedem Fall addierst du die Änderungen zum Startwert, und das Vorzeichen des Ergebnisses sagt, auf welcher Seite von null du landest. Tabellenkalkulationen und Taschenrechner tun genau das, wenn sie eine Spalte positiver und negativer Dezimalzahlen addieren.
Teste, was du gelernt hast
Eine Zahl zu subtrahieren heißt, ihre Gegenzahl zu addieren. Welche Addition ist gleich 2/3 − 5/6?
- a) 2/3 + 5/6
- b) −2/3 + 5/6
- c) −2/3 − 5/6
- d) 2/3 + (−5/6)
Richtige Antwort: d) 2/3 + (−5/6) — Ja: Nur die abgezogene Zahl wird durch ihre Gegenzahl ersetzt. 2/3 + (−5/6) = 4/6 − 5/6 = −1/6.
Bei Sonnenaufgang zeigt ein Thermometer −3,5 °C. Am Vormittag steigt es um 6,25 °C, am Nachmittag fällt es um 4,5 °C. Was zeigt es am Ende?
- a) −5,25 °C
- b) 7,25 °C
- c) −1,75 °C
- d) 1,75 °C
Richtige Antwort: c) −1,75 °C — Ja: −3,5 + 6,25 = 2,75, und 2,75 − 4,5 = −1,75. Es endet unter null.
Wie viel ist 1/3 − (−1/6)?
- a) 1/6
- b) 1/2
- c) −1/2
- d) 2/9
Richtige Antwort: b) 1/2 — Ja: 1/3 − (−1/6) = 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.
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