Mathématiques 7e année : Additionner et soustraire des entiers relatifs
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Additionner en se déplaçant sur la droite graduée, transformer toute soustraction en addition et savoir quelles propriétés restent vraies.
Additionner, c'est se déplacer sur la droite
Ajouter un nombre positif te déplace vers la droite sur la droite graduée ; ajouter un négatif te déplace vers la gauche. Pars de 3 et ajoute −5 : tu avances de 5 unités vers la gauche et tu arrives à −2, donc 3 + (−5) = −2. En histoire : 3 € en poche et une dépense de 5 € te laissent devoir 2 €. L'ordre n'importe pas : −4 + 7 = 7 + (−4) = 3 (commutativité), et tu regroupes comme tu veux : (−4 + 7) + (−5) = −4 + (7 + (−5)) = −2 (associativité).
Soustraire, c'est ajouter l'opposé
Soustraire 5 de 3, c'est ajouter l'opposé de 5 : 3 − 5 = 3 + (−5) = −2. Toute soustraction devient donc une addition. Mais la soustraction n'est pas commutative : 3 − 5 = −2 et 5 − 3 = 2. Et elle n'est pas associative : (10 − 4) − 3 = 3 mais 10 − (4 − 3) = 9. L'addition a les deux propriétés ; pour regrouper librement, écris d'abord tout en addition.
Un relevé de compte
Un solde part de 0 € et connaît ces mouvements, en euros : +45, −30, +12, −50, +28, −15. De gauche à droite : 45 + (−30) = 15 ; 15 + 12 = 27 ; 27 + (−50) = −23 ; −23 + 28 = 5 ; 5 + (−15) = −10. Ou en regroupant : positifs 45 + 12 + 28 = 85, négatifs (−30) + (−50) + (−15) = −95, et 85 + (−95) = −10. Les deux chemins donnent −10 € : la commutativité et l'associativité te laissent choisir le plus simple.
Soustraire ne diminue pas toujours
L'erreur raisonnable vient des naturels, où soustraire faisait toujours diminuer le nombre. Ici, soustraire un négatif l'augmente : 3 − (−4) = 3 + 4 = 7. Un cas réel : la température est passée de −6 °C à 5 °C. La hausse est 5 − (−6) = 5 + 6 = 11 degrés, ni −1 ni 1. Autre image : si on t'enlève une dette de 4 €, tu es 4 € plus riche.
Ascenseurs, comptes et thermomètres
Additionner et soustraire des entiers, cela arrive au quotidien : un ascenseur qui circule entre des étages au-dessus et au-dessous du rez-de-chaussée, un relevé bancaire avec crédits et débits, le changement de température entre le matin et l'après-midi, les points d'un jeu qui peuvent passer sous zéro. Chaque fois, tu choisis d'aller de gauche à droite ou de regrouper d'abord les positifs et les négatifs.
Teste ce que tu as appris
La température est de −3 °C, puis elle baisse encore de 4 degrés. Quelle addition donne la nouvelle température ?
- a) −3 + 4 = 1
- b) −3 + (−4) = −1
- c) −3 + (−4) = −7
- d) 3 + 4 = 7
Bonne réponse: c) −3 + (−4) = −7 — Oui : une baisse de 4, c'est ajouter −4. Depuis −3, tu vas 4 unités à gauche et tu arrives à −7.
Compare (10 − 4) − 3 et 10 − (4 − 3). Qu'est-ce qui est vrai ?
- a) Les deux valent 3, car la soustraction est associative
- b) La première vaut 3 et la seconde 9 : le regroupement change le résultat
- c) La première vaut 9 et la seconde 3
- d) Les deux valent 9
Bonne réponse: b) La première vaut 3 et la seconde 9 : le regroupement change le résultat — Oui : (10 − 4) − 3 = 6 − 3 = 3, mais 10 − (4 − 3) = 10 − 1 = 9. La soustraction n'est pas associative.
La température est passée de −6 °C à 5 °C. De combien de degrés a-t-elle monté ?
- a) −1, avec 5 + (−6)
- b) 1, avec 6 − 5
- c) −11
- d) 11, avec 5 − (−6) = 5 + 6
Bonne réponse: d) 11, avec 5 − (−6) = 5 + 6 — Oui : soustraire −6, c'est ajouter son opposé, 6. De −6 à 0, 6 degrés, et de 0 à 5, 5 de plus : 11.
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