Mathematik Klasse 7: Ganze Zahlen addieren und subtrahieren
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Addieren durch Gehen auf der Zahlengeraden, jede Subtraktion in eine Addition verwandeln und wissen, welche Gesetze gelten.
Addieren heißt auf der Geraden gehen
Eine positive Zahl zu addieren bringt dich auf der Zahlengeraden nach rechts, eine negative nach links. Starte bei 3 und addiere −5: Du gehst 5 Einheiten nach links und landest bei −2, also 3 + (−5) = −2. Als Geschichte: 3 € in der Tasche und eine Ausgabe von 5 € lassen dich 2 € schulden. Die Reihenfolge ist egal: −4 + 7 = 7 + (−4) = 3 (Kommutativgesetz), und du darfst beliebig zusammenfassen: (−4 + 7) + (−5) = −4 + (7 + (−5)) = −2 (Assoziativgesetz).
Subtrahieren heißt die Gegenzahl addieren
5 von 3 zu subtrahieren ist dasselbe, wie die Gegenzahl von 5 zu addieren: 3 − 5 = 3 + (−5) = −2. So wird jede Subtraktion zu einer Addition. Doch die Subtraktion ist nicht kommutativ: 3 − 5 = −2 und 5 − 3 = 2. Und sie ist nicht assoziativ: (10 − 4) − 3 = 3, aber 10 − (4 − 3) = 9. Die Addition hat beide Gesetze; um frei umzuordnen, schreibe daher zuerst alles als Addition.
Ein Kontoauszug
Ein Kontostand beginnt bei 0 € und hat diese Bewegungen, in Euro: +45, −30, +12, −50, +28, −15. Von links nach rechts: 45 + (−30) = 15; 15 + 12 = 27; 27 + (−50) = −23; −23 + 28 = 5; 5 + (−15) = −10. Oder durch Zusammenfassen: positive 45 + 12 + 28 = 85, negative (−30) + (−50) + (−15) = −95, und 85 + (−95) = −10. Beide Wege ergeben −10 €: Kommutativ- und Assoziativgesetz lassen dich den einfacheren wählen.
Subtrahieren macht nicht immer kleiner
Der naheliegende Fehler kommt von den natürlichen Zahlen, bei denen Subtrahieren die Zahl immer kleiner machte. Hier macht das Subtrahieren einer negativen Zahl sie größer: 3 − (−4) = 3 + 4 = 7. Ein echter Fall: Die Temperatur stieg von −6 °C auf 5 °C. Der Anstieg beträgt 5 − (−6) = 5 + 6 = 11 Grad, nicht −1 und nicht 1. Ein anderes Bild: Nimmt man dir 4 € Schulden ab, bist du 4 € besser dran.
Aufzüge, Konten und Thermometer
Ganze Zahlen addieren und subtrahieren kommt im Alltag vor: ein Aufzug, der zwischen Stockwerken über und unter dem Erdgeschoss fährt, ein Kontoauszug mit Gutschriften und Abbuchungen, der Temperaturunterschied zwischen Morgen und Nachmittag, Spielpunkte, die unter null fallen können. Jedes Mal wählst du, ob du von links nach rechts rechnest oder erst die positiven und die negativen Zahlen zusammenfasst.
Teste, was du gelernt hast
Die Temperatur beträgt −3 °C und fällt dann um weitere 4 Grad. Welche Addition liefert die neue Temperatur?
- a) −3 + 4 = 1
- b) −3 + (−4) = −1
- c) −3 + (−4) = −7
- d) 3 + 4 = 7
Richtige Antwort: c) −3 + (−4) = −7 — Ja: Ein Fallen um 4 heißt −4 addieren. Von −3 gehst du 4 Einheiten nach links und landest bei −7.
Vergleiche (10 − 4) − 3 mit 10 − (4 − 3). Was stimmt?
- a) Beide sind 3, weil die Subtraktion assoziativ ist
- b) Der erste ist 3 und der zweite 9: Die Gruppierung ändert das Ergebnis
- c) Der erste ist 9 und der zweite 3
- d) Beide sind 9
Richtige Antwort: b) Der erste ist 3 und der zweite 9: Die Gruppierung ändert das Ergebnis — Ja: (10 − 4) − 3 = 6 − 3 = 3, aber 10 − (4 − 3) = 10 − 1 = 9. Die Subtraktion ist nicht assoziativ.
Die Temperatur stieg von −6 °C auf 5 °C. Um wie viele Grad ist sie gestiegen?
- a) −1, aus 5 + (−6)
- b) 1, aus 6 − 5
- c) −11
- d) 11, aus 5 − (−6) = 5 + 6
Richtige Antwort: d) 11, aus 5 − (−6) = 5 + 6 — Ja: −6 zu subtrahieren heißt, die Gegenzahl 6 zu addieren. Von −6 bis 0 sind 6 Grad, von 0 bis 5 weitere 5: 11.
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