Mathématiques 7e année : Notation scientifique : de très grands nombres, écrits en court
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Écrire un grand nombre comme un nombre de 1 à moins de 10 multiplié par une puissance de 10, puis le comparer et calculer avec.
Un nombre de 1 à 10 fois une puissance de 10
Un nombre est en notation scientifique quand il s'écrit a × 10ⁿ, avec a supérieur ou égal à 1 et inférieur à 10, et n un entier positif. Pour écrire 45 300 000, décale la virgule vers la gauche jusqu'à n'avoir qu'un seul chiffre non nul devant elle : 4,53. Tu as décalé de 7 rangs, donc 45 300 000 = 4,53 × 10⁷. Cela marche aussi avec des décimaux : 3 400,5 = 3,4005 × 10³. Pour comparer, regarde d'abord l'exposant : plus grand exposant, plus grand nombre ; ce n'est que s'ils sont égaux que tu compares les valeurs de a.
Pourquoi les scientifiques écrivent ainsi les nombres
En physique-chimie, on rencontre des quantités énormes : la Terre est à environ 150 000 000 km du Soleil, soit 1,5 × 10⁸ km. Compter les zéros mène à des erreurs et comparer des nombres pleins de zéros fatigue ; en notation scientifique, l'exposant montre tout de suite la taille du nombre. Et calculer devient facile dans les cas simples : pour le double, le triple, la moitié ou un pourcentage, tu ne modifies que a et tu laisses la puissance de 10 tranquille (puis tu réajustes a s'il sort de l'intervalle de 1 à 10).
Écrire et calculer
Écrire 45 300 000 : la virgule se décale de 7 rangs, donc 4,53 × 10⁷. Le double de 6 × 10⁵ : 2 × 6 = 12, cela donne 12 × 10⁵, mais 12 n'est pas entre 1 et 10 ; 12 = 1,2 × 10, donc 1,2 × 10 × 10⁵ = 1,2 × 10⁶. La moitié de 3 × 10⁷ : 3 ÷ 2 = 1,5, donc 1,5 × 10⁷. 25 % de 8 × 10⁶ : 25 % de 8 font 2, donc 2 × 10⁶. Vérification : 2 × 10⁶ = 2 000 000 et 25 % de 8 000 000 = 2 000 000.
Un a plus grand ne fait pas un nombre plus grand
Celui qui compare 8,5 × 10⁶ et 2,1 × 10⁷ regarde 8,5 et 2,1 et conclut que le premier est le plus grand. C'est l'erreur classique : l'exposant pèse plus lourd. Écrits en entier, 8,5 × 10⁶ = 8 500 000 et 2,1 × 10⁷ = 21 000 000, donc le plus grand est 2,1 × 10⁷. Avec a entre 1 et 10, le nombre à l'exposant le plus grand est toujours le plus grand, car il a plus de chiffres avant la virgule. Ce n'est qu'à exposants égaux que a décide.
Sur l'écran de la calculatrice et en cours de sciences
Quand un résultat ne tient pas à l'écran, la calculatrice l'écrit en notation scientifique, par exemple 4,53E12 (le format exact dépend du modèle). Le E signifie « fois 10 puissance » : 4,53E12 = 4,53 × 10¹², soit 4 530 000 000 000. Ce n'est pas le nombre e (2,718…). En cours de sciences, la vitesse de la lumière, environ 3 × 10⁸ m/s, et les distances dans l'espace s'écrivent généralement ainsi.
Teste ce que tu as appris
Laquelle de ces écritures est 45 300 000 en notation scientifique ?
- a) 4,53 × 10⁶
- b) 45,3 × 10⁶
- c) 453 × 10⁵
- d) 4,53 × 10⁷
Bonne réponse: d) 4,53 × 10⁷ — Oui : 4,53 est entre 1 et 10 et la virgule s'est décalée de 7 rangs, donc 45 300 000 = 4,53 × 10⁷.
Quel est le triple de 4 × 10⁷, écrit en notation scientifique ?
- a) 12 × 10⁷
- b) 1,2 × 10⁸
- c) 1,2 × 10⁷
- d) 4 × 10¹⁰
Bonne réponse: b) 1,2 × 10⁸ — Oui : 3 × 4 = 12, et 12 × 10⁷ = 1,2 × 10 × 10⁷ = 1,2 × 10⁸, soit 120 000 000.
Lequel est le plus grand : 3,2 × 10⁵ ou 9,8 × 10⁴ ?
- a) 3,2 × 10⁵
- b) 9,8 × 10⁴
- c) On ne peut pas savoir sans écrire les deux en entier
Bonne réponse: a) 3,2 × 10⁵ — Oui : les deux a sont entre 1 et 10, donc le plus grand exposant l'emporte (5 > 4). En entier, 320 000 est plus grand que 98 000.
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