Mathematik Klasse 7: Wissenschaftliche Schreibweise: sehr große Zahlen, kurz geschrieben
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine große Zahl als Zahl von 1 bis unter 10 mal eine Zehnerpotenz schreiben, dann vergleichen und damit rechnen.
Eine Zahl von 1 bis 10 mal eine Zehnerpotenz
Eine Zahl steht in wissenschaftlicher Schreibweise, wenn sie als a × 10ⁿ geschrieben ist, mit a mindestens 1 und kleiner als 10 und n einer positiven ganzen Zahl. Um 45.300.000 so zu schreiben, verschiebst du das Komma nach links, bis nur noch eine Ziffer ungleich null davor steht: 4,53. Du hast um 7 Stellen verschoben, also 45.300.000 = 4,53 × 10⁷. Das geht auch mit Dezimalzahlen: 3.400,5 = 3,4005 × 10³. Zum Vergleichen schaust du zuerst auf den Exponenten: größerer Exponent, größere Zahl; nur bei gleichen Exponenten vergleichst du die Werte von a.
Warum Wissenschaftler Zahlen so schreiben
In Physik und Chemie kommen riesige Größen vor: Die Erde ist etwa 150.000.000 km von der Sonne entfernt, also 1,5 × 10⁸ km. Beim Zählen der Nullen schleichen sich Fehler ein, und Zahlen voller Nullen zu vergleichen ist mühsam; in wissenschaftlicher Schreibweise zeigt der Exponent sofort, wie groß die Zahl ist. Auch das Rechnen wird in einfachen Fällen leicht: Für das Doppelte, Dreifache, die Hälfte oder ein Prozent änderst du nur a und lässt die Zehnerpotenz in Ruhe (danach bringst du a wieder in den Bereich von 1 bis unter 10).
Schreiben und rechnen
45.300.000 schreiben: Das Komma wandert 7 Stellen, also 4,53 × 10⁷. Das Doppelte von 6 × 10⁵: 2 × 6 = 12, das ergibt 12 × 10⁵, doch 12 liegt nicht zwischen 1 und 10; 12 = 1,2 × 10, also 1,2 × 10 × 10⁵ = 1,2 × 10⁶. Die Hälfte von 3 × 10⁷: 3 ÷ 2 = 1,5, also 1,5 × 10⁷. 25 % von 8 × 10⁶: 25 % von 8 sind 2, also 2 × 10⁶. Probe: 2 × 10⁶ = 2.000.000 und 25 % von 8.000.000 = 2.000.000.
Ein größeres a macht die Zahl nicht größer
Wer 8,5 × 10⁶ mit 2,1 × 10⁷ vergleicht, schaut auf 8,5 und 2,1 und schließt, die erste Zahl sei größer. Das ist der klassische Fehler: Der Exponent wiegt schwerer. Ausgeschrieben sind 8,5 × 10⁶ = 8.500.000 und 2,1 × 10⁷ = 21.000.000, also ist 2,1 × 10⁷ größer. Liegt a zwischen 1 und 10, ist die Zahl mit dem größeren Exponenten immer die größere, weil sie vor dem Komma mehr Ziffern hat. Nur bei gleichen Exponenten entscheidet a.
Auf dem Taschenrechner und im Naturwissenschaftsunterricht
Passt ein Ergebnis nicht auf die Anzeige, schreibt der Taschenrechner es in wissenschaftlicher Schreibweise, zum Beispiel 4,53E12 (das genaue Format hängt vom Modell ab). Das E bedeutet „mal 10 hoch“: 4,53E12 = 4,53 × 10¹², also 4.530.000.000.000. Es ist nicht die Zahl e (2,718 …). Im Naturwissenschaftsunterricht schreibt man die Lichtgeschwindigkeit, etwa 3 × 10⁸ m/s, und Entfernungen im Weltraum meist so.
Teste, was du gelernt hast
Welche dieser Schreibweisen ist 45.300.000 in wissenschaftlicher Schreibweise?
- a) 4,53 × 10⁶
- b) 45,3 × 10⁶
- c) 453 × 10⁵
- d) 4,53 × 10⁷
Richtige Antwort: d) 4,53 × 10⁷ — Ja: 4,53 liegt zwischen 1 und 10 und das Komma wanderte 7 Stellen, also 45.300.000 = 4,53 × 10⁷.
Was ist das Dreifache von 4 × 10⁷ in wissenschaftlicher Schreibweise?
- a) 12 × 10⁷
- b) 1,2 × 10⁸
- c) 1,2 × 10⁷
- d) 4 × 10¹⁰
Richtige Antwort: b) 1,2 × 10⁸ — Ja: 3 × 4 = 12, und 12 × 10⁷ = 1,2 × 10 × 10⁷ = 1,2 × 10⁸, also 120.000.000.
Welche Zahl ist größer: 3,2 × 10⁵ oder 9,8 × 10⁴?
- a) 3,2 × 10⁵
- b) 9,8 × 10⁴
- c) Man weiß es nicht, ohne beide auszuschreiben
Richtige Antwort: a) 3,2 × 10⁵ — Ja: Beide a liegen zwischen 1 und 10, also gewinnt der größere Exponent (5 > 4). Ausgeschrieben ist 320.000 größer als 98.000.
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