Mathématiques 7e année : Graphiques : décrire et modéliser des situations
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Lire un graphique de gauche à droite raconte l'histoire de deux variables ; modéliser fait le chemin inverse, de la situation à la fonction qui la décrit.
Un graphique raconte l'histoire de deux variables
Un graphique montre comment une variable dépend d'une autre. Sur l'axe horizontal, on met la variable qui change librement, comme le temps ; sur l'axe vertical, celle qui en dépend. Chaque point est un couple de valeurs. Si la variable peut prendre n'importe quelle valeur d'un intervalle, comme le temps, on relie les points par une ligne ; si elle ne prend que des valeurs isolées, comme le nombre de billets, on ne dessine que les points. Pour décrire un graphique, lis-le de gauche à droite : la ligne monte (augmente), descend (diminue) ou reste horizontale (ne change pas) ?
De la situation à la fonction
Un graphique montre la variation d'un coup d'œil ; un modèle permet de prévoir. Modéliser, c'est partir d'une situation, choisir les deux variables et trouver la fonction qui les relie. Un panneau carré avec n carreaux sur chaque côté utilise n × n carreaux. Tableau : n = 1, 2, 3, 4, 5 donne 1, 4, 9, 16, 25 carreaux. L'expression est y = n × n et le graphique n'est fait que de points isolés, car il n'existe pas de panneau de 2,5 carreaux de côté. Les points montent de plus en plus vite : les écarts sont 3, 5, 7, 9. Un panneau de 10 carreaux de côté demande 100 carreaux.
Lire la promenade de Tomás
Le graphique de la distance de Tomás à la maison (km) en fonction du temps (h) relie par des segments les points (0 ; 0), (1 ; 3), (2 ; 3) et (4 ; 0). Pendant la première heure, il s'éloigne de 3 km, à 3 km par heure. De 1 h à 2 h la ligne est horizontale : la distance reste à 3 km, il ne se rapproche ni ne s'éloigne (il se repose, par exemple). De 2 h à 4 h la distance passe de 3 km à 0 : il rentre à 3 ÷ 2 = 1,5 km par heure, plus lentement qu'à l'aller, d'où un segment moins incliné. À 3 h il est à 3 − 1,5 = 1,5 km de la maison.
Le graphique n'est pas le dessin du trajet
Devant le graphique de Tomás, beaucoup disent : « il est monté sur une colline, a marché à plat puis est redescendu ». C'est une première impression naturelle, car la ligne monte, avance, puis descend. Mais l'axe vertical est la distance à la maison, pas l'altitude. Monter veut dire plus loin de la maison, horizontal veut dire que la distance ne change pas, et descendre veut dire plus près de la maison. Il a pu marcher tout le temps sur une route plate et droite. Lis toujours d'abord les axes, puis la ligne.
Remplir un récipient et faire bouillir de l'eau
On verse de l'eau dans un récipient à débit constant et on note la hauteur de l'eau au fil du temps. Dans un cylindre le graphique est un segment de droite. Dans un vase qui s'évase vers le haut, l'eau monte de plus en plus lentement et le graphique devient moins incliné : le graphique te renseigne sur la forme du récipient. En physique-chimie, le graphique de la température de l'eau qu'on chauffe a un palier horizontal pendant l'ébullition : la température reste la même tant que l'eau bout.
Teste ce que tu as appris
Un graphique a le temps en heures sur l'axe horizontal et la température d'une salle en °C sur l'axe vertical. Que dit le point (3 ; 18) ?
- a) La salle s'est réchauffée de 18 °C en 3 heures
- b) Après 3 heures, la température est de 18 °C
- c) Après 18 heures, la température est de 3 °C
Bonne réponse: b) Après 3 heures, la température est de 18 °C — Le premier nombre se lit sur l'axe horizontal (temps : 3 h) et le second sur l'axe vertical (température : 18 °C).
Le volume d'eau d'un réservoir (litres) en fonction du temps (minutes) est un graphique de segments par (0 ; 20), (4 ; 60), (6 ; 60) et (10 ; 20). Quelle description est correcte ?
- a) Il gagne 40 L par minute, puis reste à 60 L, puis perd 40 L par minute
- b) Il gagne 10 L par minute pendant 4 minutes, puis le réservoir est vide 2 minutes, puis perd 10 L par minute
- c) Il gagne 10 L par minute pendant 4 minutes, reste à 60 L pendant 2 minutes, puis perd 10 L par minute
Bonne réponse: c) Il gagne 10 L par minute pendant 4 minutes, reste à 60 L pendant 2 minutes, puis perd 10 L par minute — Il monte : (60 − 20) ÷ 4 = 10 L par minute. Puis un palier à 60 L. Il descend : (20 − 60) ÷ 4 = −10 L par minute.
Dans un graphique de la distance à la maison (axe vertical) en fonction du temps (axe horizontal), un morceau de la ligne descend. Que signifie-t-il ?
- a) La personne se rapproche de la maison
- b) La personne descend une pente
- c) La personne s'est arrêtée
Bonne réponse: a) La personne se rapproche de la maison — L'axe vertical mesure la distance à la maison, donc une ligne qui descend veut dire que cette distance diminue.
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