Mathematik Klasse 7: Graphen: Situationen beschreiben und modellieren
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Einen Graphen von links nach rechts zu lesen erzählt die Geschichte zweier Größen; Modellieren geht den umgekehrten Weg, von der Situation zur beschreibenden Funktion.
Ein Graph erzählt von zwei Größen
Ein Graph zeigt, wie eine Größe von einer anderen abhängt. Auf der waagrechten Achse steht die Größe, die sich frei ändert, zum Beispiel die Zeit; auf der senkrechten die abhängige. Jeder Punkt ist ein Wertepaar. Kann die Größe jeden Wert in einem Intervall annehmen, wie die Zeit, verbindet man die Punkte durch eine Linie; nimmt sie nur einzelne Werte an, wie die Zahl der Karten, zeichnet man nur die Punkte. Lies einen Graphen von links nach rechts: Steigt die Linie (nimmt zu), fällt sie (nimmt ab) oder verläuft sie waagrecht (bleibt gleich)?
Von der Situation zur Funktion
Ein Graph zeigt die Veränderung auf einen Blick; ein Modell erlaubt Vorhersagen. Modellieren heißt, von einer Situation auszugehen, die beiden Größen zu wählen und die Funktion zu finden, die sie verbindet. Eine quadratische Fläche mit n Fliesen an jeder Seite braucht n × n Fliesen. Tabelle: n = 1, 2, 3, 4, 5 ergibt 1, 4, 9, 16, 25 Fliesen. Der Term ist y = n × n, und der Graph besteht nur aus einzelnen Punkten, denn es gibt keine Fläche mit 2,5 Fliesen Seitenlänge. Die Punkte steigen immer schneller: Die Unterschiede sind 3, 5, 7, 9. Eine Fläche mit 10 Fliesen je Seite braucht 100 Fliesen.
Tomás' Spaziergang lesen
Der Graph von Tomás' Entfernung von zu Hause (km) in Abhängigkeit von der Zeit (h) verbindet die Punkte (0 | 0), (1 | 3), (2 | 3) und (4 | 0) durch Strecken. In der ersten Stunde entfernt er sich 3 km von zu Hause, mit 3 km pro Stunde. Von 1 h bis 2 h verläuft die Linie waagrecht: Die Entfernung bleibt 3 km, er kommt also weder näher noch weiter weg (er ruht sich zum Beispiel aus). Von 2 h bis 4 h fällt die Entfernung von 3 km auf 0: Er geht mit 3 ÷ 2 = 1,5 km pro Stunde heim, langsamer als hin, darum ist die Strecke flacher. Bei 3 h ist er 3 − 1,5 = 1,5 km von zu Hause entfernt.
Der Graph ist keine Zeichnung des Wegs
Beim Graphen von Tomás sagen viele: «Er ist einen Hügel hinaufgestiegen, eben gegangen und wieder hinunter.» Das ist ein natürlicher erster Eindruck, denn die Linie steigt, verläuft und fällt. Aber die senkrechte Achse ist die Entfernung von zu Hause, nicht die Höhe. Steigen heißt weiter von zu Hause weg, waagrecht heißt, dass sich die Entfernung nicht ändert, und Fallen heißt näher an zu Hause. Er kann die ganze Zeit auf einer ebenen, geraden Straße gegangen sein. Lies immer zuerst die Achsen, dann die Linie.
Ein Gefäß füllen und Wasser kochen
Wasser fließt gleichmäßig in ein Gefäß, und man notiert die Wasserhöhe über die Zeit. In einem Zylinder ist der Graph eine gerade Strecke. In einer Vase, die nach oben breiter wird, steigt das Wasser immer langsamer, und der Graph wird flacher: Der Graph verrät dir die Form des Gefäßes. In Physik und Chemie hat der Graph der Temperatur von erhitztem Wasser ein waagrechtes Stück, solange es kocht: Die Temperatur bleibt gleich, solange das Wasser kocht.
Teste, was du gelernt hast
Ein Graph hat die Zeit in Stunden auf der waagrechten und die Raumtemperatur in °C auf der senkrechten Achse. Was sagt der Punkt (3 | 18)?
- a) Der Raum hat sich in 3 Stunden um 18 °C erwärmt
- b) Nach 3 Stunden beträgt die Temperatur 18 °C
- c) Nach 18 Stunden beträgt die Temperatur 3 °C
Richtige Antwort: b) Nach 3 Stunden beträgt die Temperatur 18 °C — Die erste Zahl liest man auf der waagrechten Achse (Zeit: 3 h), die zweite auf der senkrechten (Temperatur: 18 °C).
Das Wasservolumen in einem Tank (Liter) in Abhängigkeit von der Zeit (Minuten) ist ein Graph aus Strecken durch (0 | 20), (4 | 60), (6 | 60) und (10 | 20). Welche Beschreibung stimmt?
- a) Es gewinnt 40 L pro Minute, bleibt dann bei 60 L und verliert dann 40 L pro Minute
- b) Es gewinnt 4 Minuten lang 10 L pro Minute, ist dann 2 Minuten leer und verliert dann 10 L pro Minute
- c) Es gewinnt 4 Minuten lang 10 L pro Minute, bleibt 2 Minuten bei 60 L und verliert dann 10 L pro Minute
Richtige Antwort: c) Es gewinnt 4 Minuten lang 10 L pro Minute, bleibt 2 Minuten bei 60 L und verliert dann 10 L pro Minute — Aufwärts: (60 − 20) ÷ 4 = 10 L pro Minute. Dann ein waagrechtes Stück bei 60 L. Abwärts: (20 − 60) ÷ 4 = −10 L pro Minute.
In einem Graphen der Entfernung von zu Hause (senkrechte Achse) über der Zeit (waagrechte Achse) fällt ein Stück der Linie. Was bedeutet das?
- a) Die Person nähert sich dem Zuhause
- b) Die Person geht einen Hang hinunter
- c) Die Person ist stehen geblieben
Richtige Antwort: a) Die Person nähert sich dem Zuhause — Die senkrechte Achse misst die Entfernung von zu Hause, eine fallende Linie heißt also: Die Entfernung wird kleiner.
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