Mathématiques 7e année : Équations du premier degré : reconnaître et traduire
Mathématiques, 7e année (Portugal) : Une équation demande pour quelle valeur de l'inconnue une égalité est vraie, et écrire une situation sous forme d'équation est la première étape pour la résoudre.
Une égalité avec une inconnue
Une équation est une égalité avec une inconnue, une lettre qui tient la place d'un nombre que tu ne connais pas encore. Dans 4x + 5 = 29 le terme avec l'inconnue est 4x, et les termes indépendants (sans lettre) sont 5 et 29. La solution est la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Teste : x = 5 donne 4 × 5 + 5 = 25, pas 29 ; x = 6 donne 4 × 6 + 5 = 29, vrai ; x = 7 donne 33, faux. Donc 6 est la solution. Une équation est une question : pour quelle valeur de x est-ce vrai ?
Une, aucune ou plusieurs solutions
Une affirmation comme 3 + 4 = 7 dit simplement quelque chose ; une équation pose une question, et la réponse dépend de x. Comme sur une balance, les deux côtés doivent peser autant. x − 2 = 0 n'est vraie que pour x = 2 : possible et déterminée, une solution. x + 2 = x + 1 n'est jamais vraie, car le côté gauche a toujours 1 de plus que le droit : impossible, sans solution. x + 2 = x + 2 est vraie pour tout nombre : possible et indéterminée. On voit souvent le cas en réfléchissant, avant tout calcul.
D'une histoire à une équation, et retour
Quatre amis achètent chacun le même cahier, à x euros, et ajoutent un stylo de 2,50 €. Ils paient 14,50 € en tout. Équation : 4x + 2,5 = 14,5 (terme avec l'inconnue 4x ; termes indépendants 2,5 et 14,5). Teste 2, 3 et 4 : 4 × 2 + 2,5 = 10,5 ; 4 × 3 + 2,5 = 14,5 ; 4 × 4 + 2,5 = 18,5. Seul 3 convient : chaque cahier coûte 3 €. Dans l'autre sens : 3x − 2 = 10 se lit « le triple d'un nombre, moins 2, donne 10 », et x = 4 convient : 3 × 4 − 2 = 10. Et « un nombre plus 9 donne 30 » s'écrit x + 9 = 30.
« De moins que » n'est pas « moins » dans l'ordre où on l'entend
Bia a marqué 6 points de moins que Nuno, qui en a marqué x. Beaucoup écrivent 6 − x, en suivant l'ordre des mots. Cela semble juste, alors teste avec un nombre : si Nuno a marqué 20, Bia a marqué 14, et 20 − 6 = 14. Mais 6 − 20 = −14, et personne ne marque −14 points. La plus grande quantité vient d'abord : les points de Bia valent x − 6. Ainsi « Bia a marqué 14 » devient x − 6 = 14, et x = 20 convient. Chaque fois que tu traduis une phrase, essaie un vrai nombre dans ton expression avant de lui faire confiance.
Forfait fixe plus un prix par usage
Les équations apparaissent chaque fois que quelque chose est inconnu et qu'une condition doit être remplie. Pense à louer un vélo pour 3 € fixes plus 2 € par heure, en ayant payé 11 € : combien d'heures ? Avec x heures, l'équation est 3 + 2x = 11, et x = 4 convient : 3 + 2 × 4 = 11. La même forme vaut pour une course de taxi, un forfait de téléphone, un réservoir qui se remplit, un objectif d'épargne. Les tableurs et les programmes résolvent des équations tout le temps, mais quelqu'un doit d'abord écrire la situation sous forme d'équation.
Teste ce que tu as appris
Dans l'équation 6x − 4 = 2x + 8, quels sont les termes indépendants ?
- a) 6 et 2
- b) −4 e 8
- c) 6x e 2x
- d) 4 e 8
Bonne réponse: b) −4 e 8 — Exact : −4 et 8 n'ont pas de lettre. Les termes avec l'inconnue sont 6x et 2x.
Lequel de ces nombres est solution de 3x − 7 = 2x + 5 ?
- a) 5
- b) 7
- c) 12
- d) 2
Bonne réponse: c) 12 — Exact : 3 × 12 − 7 = 29 et 2 × 12 + 5 = 29. Les deux membres sont égaux, donc 12 rend l'égalité vraie.
Teresa a lu 9 livres, soit 4 de moins que Miguel, qui en a lu x. Quelle équation traduit la situation ?
- a) x − 4 = 9
- b) 4 − x = 9
- c) x + 4 = 9
- d) 4x = 9
Bonne réponse: a) x − 4 = 9 — Exact : les livres de Miguel moins 4 donnent les 9 de Teresa. Avec x = 13 : 13 − 4 = 9.
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