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Mathematik Klasse 7: Lineare Gleichungen: erkennen und übersetzen

Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Eine Gleichung fragt, für welchen Wert der Unbekannten eine Gleichheit wahr ist, und eine Situation als Gleichung zu schreiben ist der erste Schritt zur Lösung.

Eine Gleichheit mit einer Unbekannten

Eine Gleichung ist eine Gleichheit mit einer Unbekannten, einem Buchstaben, der den Platz einer noch unbekannten Zahl hält. In 4x + 5 = 29 ist 4x das Glied mit der Unbekannten, und die konstanten Glieder (ohne Buchstaben) sind 5 und 29. Die Lösung ist der Wert der Unbekannten, der die Gleichheit wahr macht. Teste: x = 5 ergibt 4 × 5 + 5 = 25, nicht 29; x = 6 ergibt 4 × 6 + 5 = 29, wahr; x = 7 ergibt 33, falsch. Also ist 6 die Lösung. Eine Gleichung ist eine Frage: Für welches x stimmt das?

Eine, keine oder viele Lösungen

Eine Aussage wie 3 + 4 = 7 sagt nur etwas; eine Gleichung fragt, und die Antwort hängt von x ab. Wie bei einer Waage müssen beide Seiten gleich viel wiegen. x − 2 = 0 ist nur für x = 2 wahr: eine Lösung. x + 2 = x + 1 ist nie wahr, denn die linke Seite ist immer um 1 größer als die rechte: unlösbar, keine Lösung. x + 2 = x + 2 ist für jede Zahl wahr: unendlich viele Lösungen. Oft erkennt man den Fall schon durch Nachdenken, vor jeder Rechnung.

Von einer Geschichte zur Gleichung und zurück

Vier Freunde kaufen je dasselbe Heft für x Euro und dazu einen Stift für 2,50 €. Sie zahlen insgesamt 14,50 €. Gleichung: 4x + 2,5 = 14,5 (Glied mit Unbekannter 4x; konstante Glieder 2,5 und 14,5). Teste 2, 3 und 4: 4 × 2 + 2,5 = 10,5; 4 × 3 + 2,5 = 14,5; 4 × 4 + 2,5 = 18,5. Nur 3 passt: Jedes Heft kostet 3 €. Rückwärts: 3x − 2 = 10 liest sich „das Dreifache einer Zahl, minus 2, ergibt 10“, und x = 4 passt: 3 × 4 − 2 = 10. Und „eine Zahl plus 9 ergibt 30“ schreibt man x + 9 = 30.

„Weniger als“ ist nicht „minus“ in der gehörten Reihenfolge

Bia hat 6 Punkte weniger erzielt als Nuno, der x erzielt hat. Viele schreiben 6 − x, in der Reihenfolge der Wörter. Das klingt richtig, also teste mit einer Zahl: Hat Nuno 20 erzielt, hat Bia 14, und 20 − 6 = 14. Aber 6 − 20 = −14, und niemand erzielt −14 Punkte. Die größere Menge steht zuerst: Bias Punkte sind x − 6. So wird „Bia hat 14 erzielt“ zu x − 6 = 14, und x = 20 passt. Setze beim Übersetzen eines Satzes immer eine echte Zahl in deinen Ausdruck ein, bevor du ihm traust.

Grundgebühr plus Preis pro Nutzung

Gleichungen tauchen immer auf, wenn etwas unbekannt ist und eine Bedingung erfüllt sein soll. Denk an ein Fahrrad, das 3 € Grundgebühr plus 2 € pro Stunde kostet, und du hast 11 € gezahlt: Wie viele Stunden? Mit x Stunden lautet die Gleichung 3 + 2x = 11, und x = 4 passt: 3 + 2 × 4 = 11. Dieselbe Form passt zu einer Taxifahrt, einem Handytarif, einem sich füllenden Tank, einem Sparziel. Tabellenkalkulationen und Programme lösen ständig Gleichungen, aber zuerst muss jemand die Situation als Gleichung aufschreiben.

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