Mathématiques 6e année : Volume du pavé droit et du cube
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Remplis une boîte couche par couche et compte les cubes unités : longueur × largeur × hauteur et, pour le cube, arête × arête × arête.
Compter les cubes par couches
Remplis un pavé droit avec des cubes unités. La couche du bas compte longueur × largeur cubes, un par carré de la base. Puis tu empiles autant de couches que la hauteur l'indique. Donc V = longueur × largeur × hauteur, c'est-à-dire l'aire de la base fois la hauteur. Un cube est un pavé dont les trois dimensions valent l'arête a, donc V = a × a × a = a³, qu'on lit « a au cube ».
Multiplier remplace compter
Pas besoin de remplir la boîte : une couche est un rectangle de cubes, et la même couche se répète. Compter les cubes un par un ou multiplier donne le même résultat, et multiplier est bien plus rapide. Cela explique aussi les unités : un cube de 1 dm d'arête mesure 10 cm de long, de large et de haut, donc il contient 10 × 10 × 10 = 1000 cubes de 1 cm³. Voilà pourquoi 1 dm³ = 1000 cm³, et ce même cube contient 1 L.
Une boîte, un cube et un aquarium
Boîte de 5 cm sur 3 cm sur 4 cm : la couche du bas compte 5 × 3 = 15 cubes, et il y a 4 couches, donc V = 15 × 4 = 60 cm³. Cube d'arête 6 cm : V = 6 × 6 × 6 = 216 cm³. Aquarium de 8 dm sur 4 dm sur 5 dm : V = 8 × 4 × 5 = 160 dm³, et comme 1 dm³ = 1 L, il contient 160 L quand il est plein. Utilise la même unité pour les trois dimensions avant de multiplier.
a³ n'est pas 3 × a
Le petit 3 de a³ dit que l'arête est multipliée par elle-même trois fois, pas qu'on la multiplie par 3. Pour un cube d'arête 6 cm, 6 × 3 = 18 est faux, et 6 × 6 = 36 n'est que l'aire d'une face, en cm². Le volume est 6 × 6 × 6 = 216 cm³. Regarde aussi les unités : une longueur se mesure en cm, une aire en cm², un volume en cm³.
Emballer, remplir et empiler
Celui qui remplit un carton de déménagement, un réservoir ou une piscine gonflable, ou qui empile des caisses sur une palette, travaille avec le volume d'un pavé droit. Si une caisse mesure 4 dm sur 3 dm sur 2 dm, elle occupe 24 dm³, et tu vois combien en tiennent dans un espace plus grand en comparant les volumes. Les sucres en morceaux, les dés et les cubes de construction sont de petits cubes où a³ apparaît seul.
Teste ce que tu as appris
Un pavé droit a une base de côtés a et b et une hauteur h, le tout dans la même unité. Quelle expression donne son volume ?
- a) a + b + h
- b) a × b × h, l'aire de la base fois la hauteur
- c) a × b
- d) 2 × (a × b + a × h + b × h)
Bonne réponse: b) a × b × h, l'aire de la base fois la hauteur — Oui : a × b cubes forment une couche, et on empile h couches, donc V = a × b × h.
Un réservoir en forme de pavé droit mesure 6 dm de long, 5 dm de large et 3 dm de haut. Combien de litres d'eau le remplissent complètement ?
- a) 30 l
- b) 900 l
- c) 14 l
- d) 90 l
Bonne réponse: d) 90 l — Oui : 6 × 5 × 3 = 90 dm³ et, comme 1 dm³ = 1 L, le réservoir contient 90 L.
Quel est le volume d'un cube de 7 cm d'arête ?
- a) 49 cm³
- b) 21 cm³
- c) 343 cm³
- d) 294 cm³
Bonne réponse: c) 343 cm³ — Oui : 7 × 7 × 7 = 343. Le cube est un pavé dont les trois dimensions sont égales.
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