Mathematik Klasse 6: Volumen von Quader und Würfel
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Fülle eine Schachtel Schicht für Schicht und zähle die Einheitswürfel: Länge × Breite × Höhe, beim Würfel Kante × Kante × Kante.
Die Würfel schichtweise zählen
Fülle einen Quader mit Einheitswürfeln. Die unterste Schicht hat Länge × Breite Würfel, einen für jedes Quadrat der Grundfläche. Dann stapelst du so viele Schichten, wie die Höhe angibt. Also V = Länge × Breite × Höhe, das ist der Flächeninhalt der Grundfläche mal die Höhe. Ein Würfel ist ein Quader, dessen drei Maße gleich der Kante a sind, also V = a × a × a = a³, gesprochen „a hoch drei“.
Multiplizieren ersetzt das Zählen
Du musst die Schachtel nicht füllen: Eine Schicht ist ein Rechteck aus Würfeln, und dieselbe Schicht wiederholt sich. Einzeln zählen und multiplizieren geben dasselbe Ergebnis, und Multiplizieren ist viel schneller. Das erklärt auch die Einheiten: Ein Würfel mit 1 dm Kante ist 10 cm lang, breit und hoch, fasst also 10 × 10 × 10 = 1000 Würfel zu 1 cm³. Darum gilt 1 dm³ = 1000 cm³, und derselbe Würfel fasst 1 l.
Eine Schachtel, ein Würfel und ein Aquarium
Schachtel 5 cm mal 3 cm mal 4 cm: Die unterste Schicht hat 5 × 3 = 15 Würfel, und es gibt 4 Schichten, also V = 15 × 4 = 60 cm³. Würfel mit Kante 6 cm: V = 6 × 6 × 6 = 216 cm³. Aquarium 8 dm mal 4 dm mal 5 dm: V = 8 × 4 × 5 = 160 dm³, und weil 1 dm³ = 1 l, fasst es voll 160 l. Nimm für alle drei Maße dieselbe Einheit, bevor du multiplizierst.
a³ ist nicht 3 × a
Die kleine 3 in a³ sagt, dass die Kante dreimal mit sich selbst multipliziert wird, nicht dass man sie mit 3 malnimmt. Bei einem Würfel mit Kante 6 cm ist 6 × 3 = 18 falsch, und 6 × 6 = 36 ist nur der Flächeninhalt einer Seitenfläche, in cm². Das Volumen ist 6 × 6 × 6 = 216 cm³. Achte auch auf die Einheiten: Länge in cm, Fläche in cm², Volumen in cm³.
Verpacken, füllen und stapeln
Wer einen Umzugskarton packt, einen Tank oder ein Planschbecken füllt oder Kisten auf eine Palette stapelt, arbeitet mit dem Volumen eines Quaders. Ist eine Kiste 4 dm mal 3 dm mal 2 dm groß, nimmt sie 24 dm³ ein, und du erkennst durch Vergleichen der Volumen, wie viele in einen größeren Raum passen. Zuckerwürfel, Spielwürfel und Bausteine sind kleine Würfel, bei denen a³ allein auftritt.
Teste, was du gelernt hast
Ein Quader hat eine Grundfläche mit den Seiten a und b und die Höhe h, alles in derselben Einheit. Welcher Term gibt sein Volumen an?
- a) a + b + h
- b) a × b × h, Grundfläche mal Höhe
- c) a × b
- d) 2 × (a × b + a × h + b × h)
Richtige Antwort: b) a × b × h, Grundfläche mal Höhe — Ja: a × b Würfel bilden eine Schicht, und es werden h Schichten gestapelt, also V = a × b × h.
Ein quaderförmiger Tank ist 6 dm lang, 5 dm breit und 3 dm hoch. Wie viele Liter Wasser füllen ihn ganz?
- a) 30 l
- b) 900 l
- c) 14 l
- d) 90 l
Richtige Antwort: d) 90 l — Ja: 6 × 5 × 3 = 90 dm³, und weil 1 dm³ = 1 l, fasst der Tank 90 l.
Wie groß ist das Volumen eines Würfels mit 7 cm Kantenlänge?
- a) 49 cm³
- b) 21 cm³
- c) 343 cm³
- d) 294 cm³
Richtige Antwort: c) 343 cm³ — Ja: 7 × 7 × 7 = 343. Ein Würfel ist ein Quader mit drei gleichen Maßen.
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