Nombres inverses et division de fractions — Mathématiques, 11–13
Deux nombres sont inverses quand leur produit vaut 1, et diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse.
Des nombres dont le produit vaut 1
Deux nombres sont inverses l'un de l'autre quand leur produit vaut 1. 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1, donc 2/3 et 3/2 sont inverses : pour trouver l'inverse d'une fraction, tu échanges numérateur et dénominateur. Un entier est une fraction de dénominateur 1 : 4 = 4/1, et son inverse est 1/4, car 4 × 1/4 = 1. Pour diviser par une fraction, tu multiplies par son inverse : 5 ÷ 1/4 = 5 × 4 = 20.
Combien de quarts rentrent ?
Diviser demande combien de fois une quantité rentre dans une autre. Combien de bouteilles d'un quart de litre remplit-on avec 5 litres ? Chaque litre en donne 4, donc 5 × 4 = 20. Diviser par 1/4, c'est multiplier par 4, l'inverse de 1/4. Et partager 1/2 litre entre 2 verres donne 1/2 ÷ 2 = 1/2 × 1/2 = 1/4 de litre, soit 0,25 l chacun : diviser par 2, c'est prendre la moitié, donc multiplier par 1/2. Vérifie en multipliant : 20 × 1/4 = 5.
Verres de 3/8 l et 2/3 ÷ 4
Combien de verres de 3/8 l remplit-on avec 3/2 l de jus (soit 1,5 l) ? Étape 1 : 3/2 ÷ 3/8. Étape 2 : l'inverse de 3/8 est 8/3, car 3/8 × 8/3 = 24/24 = 1. Étape 3 : 3/2 × 8/3 = 24/6 = 4. Vérifie : 4 × 3/8 = 12/8 = 3/2. Cela fait 4 verres. Diviser par un entier se fait pareil : 2/3 ÷ 4 = 2/3 × 1/4 = 2/12 = 1/6.
Retourner la mauvaise fraction
Dans 3/4 ÷ 2/5, beaucoup inversent la première fraction (4/3 × 2/5 = 8/15), ou les deux, ou n'inversent rien et multiplient (3/4 × 2/5 = 6/20). On n'inverse que le diviseur, et le dividende reste tel quel : 3/4 × 5/2 = 15/8. Tu peux toujours vérifier une division en multipliant le résultat par le diviseur : 15/8 × 2/5 = 30/40 = 3/4, et tu retrouves le dividende. Essaie avec 8/15 : 8/15 × 2/5 = 16/75, ce qui n'est pas 3/4.
Couper une corde, compter des portions
Une corde de 3 m est coupée en morceaux de 3/4 m. Combien de morceaux ? 3 ÷ 3/4 = 3 × 4/3 = 12/3 = 4 morceaux (4 × 3/4 = 3 m). Dans une recette, si chaque portion demande 1/4 de tasse de sucre et que tu as 3/2 tasses, alors 3/2 ÷ 1/4 = 3/2 × 4 = 6 portions. Chaque fois que tu demandes « combien de ceci rentrent dans cela ? », tu divises, et si le morceau est une fraction, son inverse fait le travail.
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