Décomposer, repérer des motifs et déboguer — Mathématiques, 11–13
Garder l'essentiel, découper en étapes, réutiliser un motif, écrire un algorithme — et traquer l'erreur avec le cas bizarre.
Cinq habitudes de celui qui résout bien
« Marta a 3 frères, un chien et 45 crayons. Elle donne 2/5 des crayons à ses frères. Combien en donne-t-elle ? » Abstraire : ne garder que l'essentiel, 45 crayons et 2/5 (les frères et le chien ne comptent pas). Décomposer : découper en étapes simples, 45 ÷ 5 = 9 et 9 × 2 = 18. Repérer des motifs : un autre problème peut avoir la même forme. L'algorithme est la recette pas à pas qui marche pour n'importe quels nombres. Déboguer : chercher et corriger les erreurs quand quelque chose échoue.
Un motif qu'on réutilise
Six personnes se saluent toutes, une poignée de main par paire. Combien de poignées de main ? Avec 2 personnes il y en a 1 ; avec 3, 3 ; avec 4, 6 ; avec 5, 10. Les augmentations sont 2, 3, 4…, donc pour 6 personnes tu ajoutes 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Ce motif sert pour d'autres problèmes du même type : dans un tournoi où chacune des 7 équipes joue une fois contre chaque autre, il y a 1 + 2 + … + 6 = 21 matchs. Repérer le motif et l'appliquer à un problème semblable t'évite de repartir de zéro.
Un cas : avec trois bâtons, peut-on faire un triangle ?
Algorithme : 1) écris les trois longueurs ; 2) repère la plus grande ; 3) additionne les deux plus petites ; 4) si la somme est plus grande que la plus grande longueur, un triangle existe ; sinon, non. Cas 3, 4 et 5 : 3 + 4 = 7 > 5, oui. Cas 2, 3 et 6 : 2 + 3 = 5 < 6, non. Cas 4, 4 et 8 : 4 + 4 = 8, qui n'est pas plus grand que 8 : les deux petits bâtons se couchent le long du grand et il n'y a pas de triangle. Cette procédure découpe le problème en étapes et peut s'écrire en programme, par exemple avec Scratch.
Un raccourci qui n'échoue que dans le cas bizarre
Rui a simplifié l'algorithme : « additionne les deux premières longueurs et compare avec la troisième ». Il a testé 3, 4, 5 et 5, 6, 10, et ça a marché. Déboguer, c'est chercher le cas qui peut le casser : 8, 3, 4. Le raccourci fait 8 + 3 = 11 > 4 et dit « oui », mais 3 + 4 = 7 < 8, donc pas de triangle. Il n'a marché avant que parce que la plus grande venait en dernier. La correction : toujours additionner les deux plus petites. On débogue en testant des cas difficiles et en trouvant l'étape qui a échoué, sans tout recommencer.
Où on le voit : tableurs et programmes
Dans un tableur, tu écris une formule une fois et elle se répète sur chaque ligne : un algorithme avec un motif. Pour les matchs d'un tournoi de n équipes, n × (n − 1) ÷ 2 (chaque équipe joue contre les n − 1 autres et chaque match compte deux fois, donc on divise par 2) donne, de 2 à 8 équipes, 1, 3, 6, 10, 15, 21 et 28 matchs, les mêmes nombres que le motif des poignées de main. Un programme de jeu fait pareil : on le découpe en petits blocs, on répète des règles, on teste des cas difficiles et on corrige là où ça échoue. Même pensée, avec ou sans ordinateur.
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