Zerlegen, Muster erkennen und Fehler suchen — Mathematik, 11–13
Das Wesentliche behalten, in Schritte zerlegen, ein Muster wiederverwenden, einen Algorithmus schreiben – und den Fehler mit dem schrägen Fall jagen.
Fünf Gewohnheiten guter Löser
„Marta hat 3 Brüder, einen Hund und 45 Stifte. Sie gibt 2/5 der Stifte ab. Wie viele?“ Abstrahieren: nur das Wesentliche behalten, 45 Stifte und 2/5 (Brüder und Hund zählen nicht). Zerlegen: in einfache Schritte teilen, 45 ÷ 5 = 9 und 9 × 2 = 18. Muster erkennen: Ein anderes Problem kann dieselbe Form haben. Der Algorithmus ist das Rezept Schritt für Schritt, das für beliebige Zahlen funktioniert. Fehler suchen: Fehler finden und verbessern, wenn etwas nicht klappt.
Ein Muster, das man wiederverwendet
Sechs Personen begrüßen sich alle, ein Handschlag pro Paar. Wie viele Handschläge? Bei 2 Personen ist es 1; bei 3, 3; bei 4, 6; bei 5, 10. Die Zuwächse sind 2, 3, 4 …, also addierst du für 6 Personen 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Dieses Muster hilft bei ähnlichen Problemen: In einem Turnier, in dem jede von 7 Mannschaften einmal gegen jede andere spielt, gibt es 1 + 2 + … + 6 = 21 Spiele. Das Muster zu erkennen und auf ein ähnliches Problem anzuwenden erspart dir, von vorn zu beginnen.
Ein Fall: Lässt sich aus drei Stäben ein Dreieck legen?
Algorithmus: 1) schreibe die drei Längen auf; 2) finde die längste; 3) addiere die zwei kürzeren; 4) ist die Summe größer als die längste Länge, gibt es ein Dreieck, sonst nicht. Fall 3, 4 und 5: 3 + 4 = 7 > 5, ja. Fall 2, 3 und 6: 2 + 3 = 5 < 6, nein. Fall 4, 4 und 8: 4 + 4 = 8, das ist nicht größer als 8: Die zwei kurzen Stäbe liegen flach am langen, also gibt es kein Dreieck. Das Verfahren zerlegt das Problem in Schritte und lässt sich als Programm schreiben, zum Beispiel in Scratch.
Eine Abkürzung, die nur im schrägen Fall versagt
Rui vereinfachte den Algorithmus: „Addiere die ersten beiden Längen und vergleiche mit der dritten.“ Er testete 3, 4, 5 und 5, 6, 10, und es klappte. Fehler suchen heißt, den Fall zu finden, der ihn zerbricht: 8, 3, 4. Die Abkürzung rechnet 8 + 3 = 11 > 4 und sagt „ja“, aber 3 + 4 = 7 < 8, also gibt es kein Dreieck. Vorher klappte es nur, weil die längste zuletzt kam. Die Korrektur: immer die zwei kürzeren addieren. Man sucht Fehler mit schwierigen Fällen und findet den fehlerhaften Schritt, ohne alles neu zu beginnen.
Wo man es sieht: Tabellenkalkulationen und Programme
In einer Tabellenkalkulation schreibst du eine Formel einmal, und sie wiederholt sich in jeder Zeile: ein Algorithmus mit einem Muster. Für die Spiele eines Turniers mit n Mannschaften ergibt n × (n − 1) ÷ 2 (jede spielt gegen die anderen n − 1, und jedes Spiel wird doppelt gezählt, darum halbiert man) für 2 bis 8 Mannschaften 1, 3, 6, 10, 15, 21 und 28 Spiele, dieselben Zahlen wie beim Handschlag-Muster. Ein Spielprogramm macht dasselbe: Es wird in kleine Blöcke geteilt, Regeln wiederholen sich, schwierige Fälle werden getestet, und man verbessert, wo es versagt. Dasselbe Denken, mit oder ohne Computer.
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