Mathématiques 6e année : Cercle : périmètre, π et aire
Mathématiques, 6e année (Portugal) : Découvre que le périmètre du cercle est proportionnel à son diamètre, avec la constante π, et utilise P = π × d et A = π × r² dans des problèmes.
π : le nombre qui relie le contour au diamètre
Le périmètre P d'un cercle (la longueur de son contour) vaut toujours un peu plus de trois fois le diamètre d. Ce nombre, le même pour tous les cercles, s'appelle π (« pi »). Donc P = π × d ; comme le diamètre est le double du rayon r, on a aussi P = 2 × π × r. L'aire du disque est A = π × r × r = π × r². La valeur π ≈ 3,14 n'est qu'une approximation : un résultat calculé avec elle est « environ ».
Pourquoi P et d sont proportionnels
Avec une ficelle, mesure le contour et le diamètre de trois objets ronds, en cm : d = 6,0 et P = 18,8 ; d = 9,5 et P = 29,8 ; d = 14,0 et P = 44,0. Divise P par d : 3,13 ; 3,14 ; 3,14. C'est (presque) toujours le même nombre, et les petits écarts viennent de la mesure. Si P ÷ d est constant, P et d sont proportionnels, et π est le coefficient de proportionnalité : P = π × d. Pour l'aire, un carré de côté r a pour aire r × r, et le disque couvre π de ces carrés : A = π × r × r.
Un cas : un cercle de rayon 6 cm
Un cercle a un rayon r = 6 cm. Diamètre : d = 2 × 6 = 12 cm. Périmètre : P = π × 12 ≈ 3,14 × 12 = 37,68 cm. Aire : A = π × 6² = π × 36 ≈ 3,14 × 36 = 113,04 cm². Est-ce raisonnable ? Le périmètre doit se situer entre 3 et 4 diamètres, soit entre 36 cm et 48 cm : 37,68 y est. Et le disque tient dans un carré de côté 12 cm, d'aire 144 cm² : 113,04 est plus petit. Regarde les unités : cm pour le périmètre, cm² pour l'aire.
Le piège : rayon ou diamètre, r² ou 2 × r
Trois erreurs fréquentes. Une : utiliser le rayon là où la formule demande le diamètre. Avec r = 6 cm, P = π × 12, et non π × 6. Deux : confondre r² et 2 × r : r² = r × r = 36, mais 2 × r = 12. Trois : donner un périmètre en cm² ou une aire en cm : le périmètre est une longueur (cm), l'aire est une surface (cm²). Et rappelle-toi que 3,14 est approché : 37,68 cm est « environ », pas la valeur exacte.
Où tu le vois en dehors de l'école
Une roue de 60 cm de diamètre fait un tour et avance d'environ 3,14 × 60 = 188,4 cm : c'est son périmètre. Pour connaître le ruban autour d'un gâteau rond, tu utilises le périmètre ; pour la peinture d'une table ronde, le tissu d'un couvercle ou le fromage qui couvre une pizza, tu utilises l'aire. Règle pratique : contour → périmètre (cm) ; surface → aire (cm²).
Teste ce que tu as appris
Tu divises le périmètre de n'importe quel cercle par son diamètre. Quel nombre obtiens-tu ?
- a) Toujours 2
- b) Toujours π, environ 3,14
- c) Toujours 4, comme pour le carré
- d) Un nombre différent pour chacun, plus grand pour les grands cercles
Bonne réponse: b) Toujours π, environ 3,14 — Oui : P ÷ d est le même pour tous les cercles. Cette constante de proportionnalité est π, et P = π × d.
Une piste circulaire a un rayon de 20 m. Quelle distance parcourt-on en un tour le long de son bord ? Utilise π ≈ 3,14.
- a) 62,8 m
- b) 1256 m
- c) 43,14 m
- d) 125,6 m
Bonne réponse: d) 125,6 m — Oui : d = 2 × 20 = 40 m, et P = 3,14 × 40 = 125,6 m, environ.
Un disque a un rayon de 4 cm. Quelle est son aire ? Utilise π ≈ 3,14.
- a) 50,24 cm²
- b) 200,96 cm²
- c) 25,12 cm²
- d) 12,56 cm²
Bonne réponse: a) 50,24 cm² — Oui : A = π × r² = 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm², environ.
Continue d'explorer
Autres langues
Chargement de MyLeoNes™…