Mathematik Klasse 6: Kreis: Umfang, π und Flächeninhalt
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Entdecke, dass der Kreisumfang direkt proportional zum Durchmesser ist, mit der Konstante π, und nutze U = π × d und A = π × r² in Aufgaben.
π: die Zahl, die den Rand mit dem Durchmesser verbindet
Der Umfang U eines Kreises (die Länge seiner Randlinie) ist immer etwas mehr als das Dreifache des Durchmessers d. Diese Zahl, für alle Kreise gleich, heißt π (sprich „Pi“). Also U = π × d; da der Durchmesser doppelt so lang ist wie der Radius r, gilt auch U = 2 × π × r. Der Flächeninhalt des Kreises ist A = π × r × r = π × r². Der Wert π ≈ 3,14 ist nur eine Näherung: Ein damit berechnetes Ergebnis ist „ungefähr“.
Warum U und d proportional sind
Miss mit einer Schnur den Rand und den Durchmesser von drei runden Gegenständen, in cm: d = 6,0 und U = 18,8; d = 9,5 und U = 29,8; d = 14,0 und U = 44,0. Teile U durch d: 3,13; 3,14; 3,14. Es ist (fast) immer dieselbe Zahl, die kleinen Unterschiede kommen vom Messen. Ist U : d konstant, sind U und d direkt proportional, und π ist die Proportionalitätskonstante: U = π × d. Für die Fläche gilt: Ein Quadrat mit Seite r hat den Flächeninhalt r × r, und der Kreis deckt π solcher Quadrate ab: A = π × r × r.
Ein Beispiel: ein Kreis mit Radius 6 cm
Ein Kreis hat den Radius r = 6 cm. Durchmesser: d = 2 × 6 = 12 cm. Umfang: U = π × 12 ≈ 3,14 × 12 = 37,68 cm. Fläche: A = π × 6² = π × 36 ≈ 3,14 × 36 = 113,04 cm². Ist das plausibel? Der Umfang muss zwischen 3 und 4 Durchmessern liegen, also zwischen 36 cm und 48 cm: 37,68 tut das. Und der Kreis passt in ein Quadrat mit Seite 12 cm und Fläche 144 cm²: 113,04 ist weniger. Achte auf die Einheiten: cm für den Umfang, cm² für die Fläche.
Die Falle: Radius oder Durchmesser, r² oder 2 × r
Drei häufige Ausrutscher. Erstens: den Radius nehmen, wo die Formel den Durchmesser verlangt. Bei r = 6 cm ist U = π × 12, nicht π × 6. Zweitens: r² mit 2 × r verwechseln: r² = r × r = 36, aber 2 × r = 12. Drittens: den Umfang in cm² oder die Fläche in cm angeben: Der Umfang ist eine Länge (cm), die Fläche ein Flächenmaß (cm²). Und denk daran, dass 3,14 ein Näherungswert ist: 37,68 cm ist „ungefähr“, nicht der genaue Wert.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Ein Rad mit 60 cm Durchmesser dreht sich einmal und rollt etwa 3,14 × 60 = 188,4 cm weit: Das ist sein Umfang. Für das Band um eine runde Torte brauchst du den Umfang; für die Farbe eines runden Tisches, den Stoff für einen Deckel oder den Käse auf einer Pizza brauchst du die Fläche. Faustregel: Rand → Umfang (cm); Oberfläche → Flächeninhalt (cm²).
Teste, was du gelernt hast
Du teilst den Umfang irgendeines Kreises durch seinen Durchmesser. Welche Zahl erhältst du?
- a) Immer 2
- b) Immer π, etwa 3,14
- c) Immer 4, wie beim Quadrat
- d) Für jeden Kreis eine andere Zahl, größer bei größeren Kreisen
Richtige Antwort: b) Immer π, etwa 3,14 — Ja: U : d ist bei allen Kreisen gleich. Diese Proportionalitätskonstante ist π, und U = π × d.
Eine runde Bahn hat einen Radius von 20 m. Wie weit läufst du in einer Runde am Rand entlang? Nimm π ≈ 3,14.
- a) 62,8 m
- b) 1256 m
- c) 43,14 m
- d) 125,6 m
Richtige Antwort: d) 125,6 m — Ja: d = 2 × 20 = 40 m, und U = 3,14 × 40 = 125,6 m, ungefähr.
Ein Kreis hat den Radius 4 cm. Wie groß ist sein Flächeninhalt? Nimm π ≈ 3,14.
- a) 50,24 cm²
- b) 200,96 cm²
- c) 25,12 cm²
- d) 12,56 cm²
Richtige Antwort: a) 50,24 cm² — Ja: A = π × r² = 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm², ungefähr.
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