Décrire des relations avec des lettres — Mathématiques, 11–13
Une lettre tient la place d'un nombre, et une expression courte dit donc ce que partage tout un ensemble de nombres ou toute une relation.
Une lettre pour de nombreux nombres
Dans une expression, une lettre tient la place d'un nombre : ce peut être n'importe lequel d'un ensemble. « n + 5 » dit « un nombre et 5 de plus » ; « 2 × n » dit « le double d'un nombre » et s'écrit 2n (entre un nombre et une lettre, on n'écrit pas le signe ×). Une même relation peut se dire de trois façons : en mots (« Rui a 4 vignettes de plus qu'Ana »), avec un dessin (deux rangées de vignettes, celle de Rui avec 4 en plus) et avec des lettres (Ana n, Rui n + 4).
Pourquoi les lettres aident
Décrire « les nombres pairs » avec des mots demande une phrase, et les énumérer (0, 2, 4, 6, 8…) ne finit jamais. Avec une lettre, tu dis tout d'un coup : les nombres pairs sont les nombres 2 × n, avec n = 0, 1, 2, 3… Une lettre te permet aussi d'expliquer ton raisonnement aux autres en quelques symboles et de comprendre le leur : si un camarade écrit n + 4 et un autre 4 + n, ils peuvent discuter pour savoir s'ils veulent dire la même chose.
Des nombres pairs aux lettres
Décrivons avec une lettre l'ensemble des nombres pairs. Dessin : une rangée de points qui se partage en deux rangées égales, sans reste. Mots : un nombre pair est le double d'un autre nombre. Lettres : 2 × n, ou 2n. Avec n = 0, 1, 2, 3, 4 on obtient 0, 2, 4, 6, 8. 58 est-il pair ? 58 ÷ 2 = 29 et 2 × 29 = 58 : oui. Et 75 ? 75 ÷ 2 = 37,5, qui n'est pas un entier : non. Dans l'autre sens : « un de plus que le triple de n » s'écrit 3n + 1, et avec n = 4 cela donne 3 × 4 + 1 = 13.
« 5 de plus » n'est pas « 5 fois »
Passer des mots aux lettres piège à deux endroits. D'abord : « 5 de plus que n » s'écrit n + 5, et non 5n ; avec n = 3 le premier donne 8 et le second 15. Ensuite : « 3 de moins que n » s'écrit n − 3, et non 3 − n. Si tu écris les nombres dans l'ordre où tu les entends, tu inverses la relation. Le test, c'est d'essayer : si Ana a n = 10 vignettes et Rui 3 de moins, 10 − 3 = 7 a du sens ; en revanche 3 − 10 ne donne aucun entier naturel.
Recettes, tableurs et programmes
Une recette qui demande 2 œufs par personne s'écrit 2 × n, avec n personnes. Dans un tableur, la formule =2*A1 est la même idée : A1 est la « lettre », et la formule donne le résultat pour le nombre que tu y mets. Dans les programmes, les variables jouent le même rôle. Chaque fois qu'une règle se répète pour beaucoup de valeurs, une lettre t'évite de l'écrire mille fois.
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