Beziehungen mit Buchstaben beschreiben — Mathematik, 11–13
Ein Buchstabe steht für eine Zahl, und so sagt ein kurzer Term, was eine ganze Menge von Zahlen oder eine ganze Beziehung gemeinsam hat.
Ein Buchstabe für viele Zahlen
In einem Term steht ein Buchstabe für eine Zahl: Es kann jede beliebige Zahl aus einer Menge sein. „n + 5“ heißt „eine Zahl und 5 mehr“; „2 × n“ heißt „das Doppelte einer Zahl“ und wird 2n geschrieben (zwischen Zahl und Buchstabe lässt man das ×-Zeichen weg). Dieselbe Beziehung lässt sich auf drei Arten erzählen: in Worten („Rui hat 4 Sticker mehr als Ana“), mit einer Zeichnung (zwei Reihen Sticker, die von Rui mit 4 mehr) und mit Buchstaben (Ana n, Rui n + 4).
Warum Buchstaben helfen
Die „geraden Zahlen“ in Worten zu beschreiben braucht einen Satz, und sie aufzulisten (0, 2, 4, 6, 8…) hört nie auf. Mit einem Buchstaben sagst du alles auf einmal: Die geraden Zahlen sind die Zahlen 2 × n mit n = 0, 1, 2, 3… Ein Buchstabe hilft dir auch, anderen deinen Gedankengang in wenigen Zeichen zu erklären und ihren zu verstehen: Schreibt eine Mitschülerin n + 4 und ein anderer 4 + n, können sie besprechen, ob sie dasselbe meinen.
Von geraden Zahlen zu Buchstaben
Beschreiben wir mit einem Buchstaben die Menge der geraden Zahlen. Zeichnung: eine Reihe von Punkten, die sich ohne Rest in zwei gleiche Reihen teilen lässt. Worte: Eine gerade Zahl ist das Doppelte einer anderen Zahl. Buchstaben: 2 × n, kurz 2n. Mit n = 0, 1, 2, 3, 4 erhält man 0, 2, 4, 6, 8. Ist 58 gerade? 58 ÷ 2 = 29 und 2 × 29 = 58: ja. Und 75? 75 ÷ 2 = 37,5, keine natürliche Zahl: nein. Umgekehrt: „eins mehr als das Dreifache von n“ schreibt man 3n + 1, und mit n = 4 ergibt das 3 × 4 + 1 = 13.
„5 mehr“ ist nicht „5-mal“
Der Weg von Worten zu Buchstaben hat zwei Stolperstellen. Erstens: „5 mehr als n“ ist n + 5, nicht 5n; mit n = 3 ergibt das erste 8 und das zweite 15. Zweitens: „3 weniger als n“ ist n − 3, nicht 3 − n. Wer die Zahlen in der Reihenfolge schreibt, in der er sie hört, vertauscht die Beziehung. Der Test ist Ausprobieren: Hat Ana n = 10 Sticker und Rui 3 weniger, ergibt 10 − 3 = 7 Sinn; 3 − 10 ergibt dagegen keine natürliche Zahl.
Rezepte, Tabellenkalkulation und Programme
Ein Rezept, das 2 Eier pro Person braucht, schreibt sich 2 × n, mit n Personen. In einer Tabellenkalkulation ist die Formel =2*A1 dieselbe Idee: A1 ist der „Buchstabe“, und die Formel liefert das Ergebnis für die Zahl, die du dort eingibst. In Programmen spielen Variablen dieselbe Rolle. Wenn sich eine Regel für viele Werte wiederholt, erspart dir ein Buchstabe, sie tausendmal aufzuschreiben.
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