Valeur d'expressions et expressions équivalentes — 11–13
On remplace la lettre par un nombre pour trouver la valeur, et l'on voit que deux expressions d'apparence différente peuvent raconter la même histoire.
Remplacer la lettre par un nombre
Pour trouver la valeur d'une expression, tu remplaces la lettre par un nombre et tu calcules. Dans 3n + 2 avec n = 4 : d'abord 3 × 4 = 12, puis 12 + 2 = 14. Attention : 3n veut dire 3 × n, donc avec n = 4 cela fait 12, et non « 34 ». Deux expressions sont équivalentes quand elles donnent la même valeur pour tout nombre mis à la place de la lettre : ce sont deux façons de regarder la même situation.
Deux façons de compter la même chose
Imagine n boîtes de 3 stylos chacune : il y a 3n stylos. Quelqu'un d'autre voit chaque boîte comme 2 stylos dans un sachet et 1 stylo libre, et écrit 2n + n. Ils ont écrit des choses différentes, mais comptent les mêmes stylos, donc leurs expressions sont équivalentes. Chaque expression montre comment son auteur a pensé. Le voir t'aide à choisir la plus facile pour un problème et à expliquer avec tes mots pourquoi deux expressions coïncident toujours.
Tester 3n et 2n + n
3n et 2n + n sont-elles équivalentes (n boîtes, 3 stylos chacune : 2 dans un sachet et 1 libre) ? Avec n = 4 : 3 × 4 = 12 et 2 × 4 + 4 = 8 + 4 = 12. Avec n = 7 : 3 × 7 = 21 et 2 × 7 + 7 = 14 + 7 = 21. Avec n = 15 : 3 × 15 = 45 et 2 × 15 + 15 = 30 + 15 = 45. Toujours égales, et le dessin des boîtes dit pourquoi : chaque boîte contient 2 + 1 = 3 stylos. Ainsi 15 boîtes ont 45 stylos, quelle que soit la façon de compter.
Une valeur identique ne prouve rien
Essayer une seule valeur peut tromper. Regarde 2n + 3 et 5n : avec n = 1, les deux donnent 5. Mais avec n = 2, elles donnent 7 et 10, donc elles ne sont pas équivalentes. Une valeur différente suffit pour montrer que deux expressions ne sont pas équivalentes ; des valeurs identiques donnent seulement plus de confiance, elles ne prouvent rien. Teste plusieurs valeurs et demande-toi toujours si le sens dans la situation explique aussi l'égalité.
Tableurs et règles qui grandissent
Dans un tableur, tu écris une expression une fois et tu la tires : tu obtiens sa valeur pour beaucoup de nombres à la fois, et tu peux comparer deux expressions colonne par colonne. C'est pratique pour les problèmes à règle croissante : quelqu'un qui a déjà couru 40 m et court 4 m par seconde est, après n secondes, à 40 + 4n mètres ; avec n = 10, cela fait 40 + 40 = 80 m. Voir les valeurs pour plusieurs n permet de comparer et de décider.
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