Aire du triangle et hauteurs d'un triangle — Mathématiques, 11–13
Le triangle est la moitié d'un parallélogramme : aire = base × hauteur ÷ 2, avec trois hauteurs dont la position dépend du type de triangle.
Les trois hauteurs et l'aire d'un triangle
Dans un triangle, tu peux choisir n'importe quel côté comme base. La hauteur correspondante est le segment issu du sommet opposé, perpendiculaire à la base ou à son prolongement. Un triangle a donc trois hauteurs. L'aire est base × hauteur ÷ 2. Dans un triangle acutangle, les trois hauteurs sont à l'intérieur ; dans un triangle rectangle, deux sont les côtés de l'angle droit ; dans un triangle obtusangle, deux sont à l'extérieur.
Pourquoi on divise par 2
Fais deux copies identiques d'un triangle et fais tourner l'une d'un demi-tour : ensemble, elles forment un parallélogramme de même base et de même hauteur. Avec une base de 10 cm et une hauteur de 6 cm, le parallélogramme a pour aire 10 × 6 = 60 cm² et chaque triangle en est la moitié : 30 cm². Si tu fixes la base et que tu fais glisser le troisième sommet sur une droite parallèle à la base, la hauteur ne change pas : acutangle, rectangle ou obtusangle, l'aire reste 30 cm².
Les trois hauteurs d'un triangle rectangle
Un triangle a un angle droit, les côtés qui le forment mesurent 6 cm et 8 cm, et le plus grand côté mesure 10 cm. Avec la base 8, la hauteur est l'autre côté, 6 cm : aire = 8 × 6 ÷ 2 = 24 cm². Avec la base 6, la hauteur est 8 cm : 6 × 8 ÷ 2 = 24 cm². Avec la base 10, la hauteur h est à l'intérieur du triangle : 10 × h ÷ 2 = 24, donc 10 × h = 48 et h = 4,8 cm. Trois bases, trois hauteurs (6, 8 et 4,8 cm), la même aire.
Le piège : oublier la moitié ou prendre un côté incliné
Deux erreurs très courantes. La première : oublier le ÷ 2 et garder l'aire du parallélogramme (10 × 6 = 60 au lieu de 30). La seconde : prendre un côté incliné pour la hauteur. La hauteur se mesure perpendiculairement à la base, même quand elle tombe à l'extérieur du triangle, sur le prolongement de la base : c'est ce qui arrive à deux des hauteurs d'un triangle obtusangle. Ce n'est pas une erreur de dessin, c'est ainsi que fonctionne une hauteur.
Où tu le vois en dehors de l'école
Une voile triangulaire, un fanion ou le mur triangulaire en haut d'un toit : pour savoir de combien de tissu ou de peinture on a besoin, on mesure une base et sa hauteur et on calcule base × hauteur ÷ 2. Si deux triangles ont la même base et la même hauteur, ils ont la même aire, même si leurs formes semblent très différentes.
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