Flächeninhalt des Dreiecks und Höhen eines Dreiecks — 11–13
Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm: Flächeninhalt = Grundseite · Höhe : 2, mit drei Höhen, deren Lage von der Art des Dreiecks abhängt.
Die drei Höhen und der Flächeninhalt eines Dreiecks
In einem Dreieck kannst du jede Seite als Grundseite wählen. Die zugehörige Höhe ist die Strecke vom gegenüberliegenden Eckpunkt, senkrecht zur Grundseite oder zu ihrer Verlängerung. Ein Dreieck hat also drei Höhen. Der Flächeninhalt ist Grundseite · Höhe : 2. Im spitzwinkligen Dreieck liegen alle drei Höhen innen; im rechtwinkligen sind zwei davon die Seiten am rechten Winkel; im stumpfwinkligen liegen zwei außerhalb des Dreiecks.
Warum man durch 2 teilt
Mach zwei gleiche Kopien eines Dreiecks und drehe eine davon um eine halbe Drehung: Zusammen bilden sie ein Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe. Bei Grundseite 10 cm und Höhe 6 cm hat das Parallelogramm 10 · 6 = 60 cm², und jedes Dreieck ist die Hälfte davon: 30 cm². Hältst du die Grundseite fest und ziehst die dritte Ecke entlang einer Parallelen zur Grundseite, ändert sich die Höhe nicht: spitz-, recht- oder stumpfwinklig, der Flächeninhalt ist immer 30 cm².
Die drei Höhen eines rechtwinkligen Dreiecks
Ein Dreieck hat einen rechten Winkel, die Seiten daran messen 6 cm und 8 cm, die längste Seite misst 10 cm. Mit der Grundseite 8 ist die Höhe die andere Seite, 6 cm: Flächeninhalt = 8 · 6 : 2 = 24 cm². Mit der Grundseite 6 ist die Höhe 8 cm: 6 · 8 : 2 = 24 cm². Mit der Grundseite 10 liegt die Höhe h im Dreieck: 10 · h : 2 = 24, also 10 · h = 48 und h = 4,8 cm. Drei Grundseiten, drei Höhen (6, 8 und 4,8 cm), derselbe Flächeninhalt.
Die Falle: die Hälfte vergessen oder eine schräge Seite nehmen
Zwei sehr häufige Fehler. Erstens: das : 2 vergessen und den Flächeninhalt des Parallelogramms behalten (10 · 6 = 60 statt 30). Zweitens: eine schräge Seite als Höhe nehmen. Die Höhe misst man senkrecht zur Grundseite, auch wenn sie außerhalb des Dreiecks auf der Verlängerung der Grundseite liegt: So ist es bei zwei der Höhen eines stumpfwinkligen Dreiecks. Das ist kein Zeichenfehler, so funktioniert eine Höhe.
Wo du das außerhalb der Schule siehst
Ein dreieckiges Segel, ein Wimpel oder die dreieckige Wand oben an einem Dach: Um zu wissen, wie viel Stoff oder Farbe man braucht, misst man eine Grundseite und ihre Höhe und rechnet Grundseite · Höhe : 2. Haben zwei Dreiecke dieselbe Grundseite und dieselbe Höhe, haben sie denselben Flächeninhalt, auch wenn ihre Formen ganz verschieden aussehen.
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