Le théorème de Pythagore — Mathématiques, 14–17 ans
Une relation entre les trois longueurs des côtés d’un triangle rectangle. Mathématiques, 14–17 ans.
Le côté le plus long
Dans un triangle rectangle, les deux côtés les plus courts se rencontrent à l’angle droit. Le côté le plus long lui fait face : c’est l’hypoténuse. Leurs longueurs vérifient a² + b² = c² : les aires des carrés construits sur les petits côtés égalent celle du carré construit sur l’hypoténuse.
Le problème qu’il résout
Mesurer directement une diagonale peut être difficile, alors que deux longueurs perpendiculaires sont parfois faciles à connaître. Ce théorème permet de calculer la distance manquante. Il était connu dans l’ancienne Babylonie et en Inde, puis associé à Pythagore : ce n’est pas une règle choisie au hasard.
Une échelle contre un mur
Une échelle atteint 12 m sur un mur et son pied est à 5 m du mur. Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle. Si c désigne l’échelle, c² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Comme √169 = 13, l’échelle mesure 13 m.
Quel côté vaut c ?
L’erreur habituelle est de placer le plus grand côté au mauvais endroit ou d’appeler c n’importe quel côté. C’est compréhensible : les figures peuvent être tournées et les lettres sont arbitraires. Dans un triangle rectangle, c est toujours le côté opposé à l’angle droit, donc le plus long.
Des distances sur une carte
Les constructeurs utilisent cette relation pour vérifier qu’un angle est bien droit : 3 m, 4 m et 5 m vérifient 3² + 4² = 5². Elle estime aussi une distance directe quand on connaît les déplacements nord-sud et est-ouest. Elle ne s’applique que si ces directions sont perpendiculaires.
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