Logarithmes — Mathématiques, 14–17 ans
L’opération inverse des puissances : trouver quel exposant produit un nombre donné. Mathématiques, 14–17 ans.
L’idée
Un logarithme demande : « Quel exposant faut-il ? » L’égalité log₂ 32 = 5 signifie que 2^5 = 32. Les logarithmes permettent de résoudre les situations où l’inconnue se trouve dans l’exposant plutôt qu’à côté de lui.
Pourquoi ils ont été créés
Avant les calculatrices, les multiplications longues étaient lentes et faciles à rater. Les tables de logarithmes permettaient de remplacer une multiplication par une addition, ce qui aidait l’astronomie, la navigation et l’ingénierie. Aujourd’hui, les calculatrices calculent, mais les logarithmes décrivent encore des échelles et résolvent les équations exponentielles.
En résoudre un
Résous 3^x = 81. Cherche quelle puissance de 3 donne 81 : 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27 et 3^4 = 81. Donc x = log₃ 81 = 4. Le logarithme désigne l’exposant trouvé en testant les puissances.
L’erreur fréquente
On peut facilement lire log₂ 8 comme 2 × 8, car le petit nombre ressemble à un multiplicateur. Mais la base 2 est le facteur répété et la réponse est un exposant : 2^3 = 8, donc log₂ 8 = 3. Échanger la base et la réponse change complètement la question.
Où ils apparaissent
Les échelles logarithmiques sont utiles quand les valeurs couvrent une très grande plage. La magnitude des séismes, le niveau sonore en décibels et l’acidité mesurée par le pH comparent des puissances plutôt que des différences ordinaires. Monter d’une unité ne signifie donc généralement pas « un de plus », mais une multiplication par un facteur fixe.
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