Logarithmen — Mathematik, 14–17 Jahre

Die Umkehroperation zu Potenzen: herausfinden, welcher Exponent eine bestimmte Zahl erzeugt.

Die Idee

Ein Logarithmus fragt: „Welcher Exponent wird gebraucht?“ Die Aussage log₂ 32 = 5 bedeutet 2^5 = 32. Logarithmen helfen besonders bei Aufgaben, in denen die Unbekannte im Exponenten steht und nicht einfach daneben.

Warum man sie braucht

Vor Taschenrechnern waren lange Multiplikationen langsam und fehleranfällig. Logarithmentafeln erlaubten es, Multiplikationen durch Additionen zu ersetzen, was Astronomie, Navigation und Technik erleichterte. Heute rechnen Geräte, doch Logarithmen beschreiben weiterhin Skalen und lösen Exponentialgleichungen.

Eine Gleichung lösen

Löse 3^x = 81. Suche die Potenz von 3, die 81 ergibt: 3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27 und 3^4 = 81. Deshalb ist x = log₃ 81 = 4. Der Logarithmus bezeichnet den gefundenen Exponenten.

Der häufige Fehler

Man kann log₂ 8 leicht als 2 × 8 lesen, weil die kleine Zahl wie ein Multiplikator aussieht. Aber die Basis 2 ist der wiederholte Faktor, und das Ergebnis ist ein Exponent: 2^3 = 8, also log₂ 8 = 3. Wer Basis und Ergebnis vertauscht, stellt eine ganz andere Frage.

Wo sie vorkommen

Logarithmische Skalen sind nützlich, wenn Werte einen riesigen Bereich abdecken. Erdbebenstärke, Schallpegel in Dezibel und der pH-Wert vergleichen Potenzen statt gewöhnlicher Unterschiede. Ein Anstieg um eine Einheit bedeutet auf solchen Skalen meist nicht „eins mehr“, sondern eine Multiplikation mit einem festen Faktor.

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