Suites arithmétiques — Mathématiques, 14–17 ans

Comment une variation constante crée une suite et comment trouver n’importe quel terme sans écrire tous les précédents.

Le même pas à chaque fois

Dans une suite arithmétique, on ajoute toujours la même quantité pour passer d’un terme au suivant. Par exemple, 7, 11, 15, 19 augmente de 4 à chaque fois. Le premier terme et cette différence suffisent à décrire toute la suite.

Pourquoi utiliser une formule ?

Écrire les premiers termes est facile, mais cela devient long si l’on demande le 1 000e terme. La formule aₙ = a₁ + (n − 1)d compte le nombre de pas identiques. Elle remplace de nombreuses additions par un seul calcul.

Trouver un terme éloigné

Dans une rangée de cinéma, les places portent les numéros 12, 15, 18, 21, etc. Ici, a₁ = 12 et d = 3. Pour la 20e place : a₂₀ = 12 + (20 − 1) × 3 = 12 + 57 = 69. Il n’est pas nécessaire d’écrire les 16 nombres intermédiaires.

L’indice n’est pas la valeur

Une erreur fréquente consiste à utiliser n × d au lieu de (n − 1)d. Cela paraît logique, car le 20e terme semble demander 20 pas, mais le premier terme est déjà là avant le premier pas. De 1 à 20, il n’y a que 19 déplacements.

Des plans réguliers

Ce modèle convient aux hausses ou baisses fixes : places d’une rangée, épargne mensuelle augmentant toujours de la même somme, ou intervalles égaux entre des points. Il ne convient pas si la variation augmente elle-même, comme avec les intérêts composés. Il faut d’abord vérifier le motif.

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