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Arithmetische Folgen — Mathematik, 14–17 Jahre

Wie eine gleichbleibende Änderung eine Folge erzeugt und wie man jedes Glied findet, ohne alle vorherigen aufzuschreiben.

Immer derselbe Schritt

Bei einer arithmetischen Folge wird beim Übergang zum nächsten Glied immer dieselbe Zahl addiert. Zum Beispiel wächst 7, 11, 15, 19 jedes Mal um 4. Das erste Glied und diese konstante Differenz beschreiben die ganze Folge.

Warum eine Formel verwenden?

Die ersten Glieder aufzuschreiben ist leicht, aber beim 1000. Glied dauert es lange. Die Formel aₙ = a₁ + (n − 1)d zählt die nötigen gleichen Schritte. Sie ersetzt viele Additionen durch eine Rechnung.

Ein weit entferntes Glied finden

In einer Kinoreihe stehen die Sitznummern 12, 15, 18, 21 und so weiter. Hier gilt a₁ = 12 und d = 3. Für den 20. Sitz: a₂₀ = 12 + (20 − 1) × 3 = 12 + 57 = 69. Die 16 Zwischenzahlen müssen nicht aufgeschrieben werden.

Index und Wert sind nicht dasselbe

Ein häufiger Fehler ist n × d statt (n − 1)d zu verwenden. Das wirkt logisch, weil das 20. Glied nach 20 Schritten klingt; das erste Glied steht aber schon vor dem ersten Schritt da. Vom 1. bis zum 20. Glied sind es nur 19 Schritte.

Gleichmäßige Pläne

Dieses Modell passt zu festen Zu- oder Abnahmen: Sitznummern in einer Reihe, monatliches Sparen mit demselben Zuschlag oder gleiche Abstände zwischen Markierungen. Es passt nicht, wenn auch die Änderung wächst, etwa bei Zinseszins. Zuerst muss man das Muster prüfen.

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