Mathematik Klasse 7: Rationale Zahlen auf der Zahlengeraden: vergleichen und ordnen
Mathematik, Klasse 7 (Portugal): Jede rationale Zahl hat ihren Platz auf der Zahlengeraden, und je weiter rechts, desto größer: So vergleicht und ordnet man Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen gemeinsam.
Jede Zahl hat ihren Punkt
Auf der Zahlengeraden ist 0 der Bezugspunkt, die positiven Zahlen liegen rechts, die negativen links; die Gegenzahl liegt im gleichen Abstand von 0 auf der anderen Seite. Jede rationale Zahl hat genau einen Punkt. Um −7/4 einzutragen, schreibst du sie als ganze Zahl plus echten Bruch: −7/4 = −2 + 1/4. Sie liegt zwischen −2 und −1, ein Viertel der Einheit rechts von −2. Je weiter rechts, desto größer die Zahl.
Warum eine ganze Zahl plus ein Bruch
Die ganze Zahl sagt dir, zwischen welchen zwei Strichen die Zahl liegt; der echte Bruch sagt dir, wie weit du von diesem Strich gehen musst. So setzt du nie einen Punkt nach Gefühl. Die Gerade bringt außerdem Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen an denselben Ort, sodass man sie direkt vergleichen kann. Sie erklärt die Ordnungsregeln: Jede positive Zahl ist größer als 0, jede negative kleiner als 0, und von zwei negativen Zahlen ist die näher bei 0 die größere, wie bei den ganzen Zahlen.
Fünf Zahlen ordnen
Ordne vom kleinsten zum größten: −3/4, 0,5, −1,2, 5/4, −0,8. Schritt 1: Schreibe alle in derselben Form, als Dezimalzahl: −0,75; 0,5; −1,2; 1,25; −0,8. Schritt 2: Negative Zahlen liegen links von 0, positive rechts, also kommen −0,75, −1,2 und −0,8 vor 0,5 und 1,25. Schritt 3: Von negativen Zahlen ist die weiter von 0 entfernte die kleinere: Die Abstände sind 1,2 > 0,8 > 0,75, also −1,2 < −0,8 < −0,75. Ergebnis: −1,2 < −0,8 < −3/4 < 0,5 < 5/4.
Größere Ziffern, kleinere Zahl
Was ist größer, −1/2 oder −1/3? Viele bemerken, dass 1/2 größer als 1/3 ist, und antworten −1/2. Doch auf der Zahlengeraden liegt −1/2 weiter links als −1/3, ist also die kleinere: −1/2 < −1/3. Mit gemeinsamem Nenner sieht man es sofort: −3/6 < −2/6. Bei negativen Zahlen kehrt sich die Ordnung um: Je größer der Abstand von 0, desto kleiner die Zahl. Trag vor dem Antworten beide auf einer Geraden ein und frag, welche weiter links liegt.
Thermometer, Tiefen und sortierte Listen
Ein Thermometer ist eine aufrecht stehende Zahlengerade: −2,5 °C ist kälter als −1,5 °C, weil es tiefer liegt, obwohl 2,5 größer als 1,5 ist. Eine Tiefenskala funktioniert genauso: −0,5 km ist tiefer, also kleiner, als −0,2 km. Wenn du in einer Tabellenkalkulation eine Spalte negativer Dezimalzahlen aufsteigend sortierst, benutzt der Computer genau diese Ordnung: −1,5 steht vor −0,25.
Teste, was du gelernt hast
Wo liegt −7/4 auf der Zahlengeraden?
- a) Zwischen 1 und 2, weil 7/4 zwischen 1 und 2 liegt.
- b) Zwischen −2 und −1, näher bei −1.
- c) Zwischen −2 und −1, näher bei −2, weil −7/4 = −2 + 1/4.
- d) Zwischen −7 und −4, an den Strichen, die Zähler und Nenner angeben.
Richtige Antwort: c) Zwischen −2 und −1, näher bei −2, weil −7/4 = −2 + 1/4. — Ja. −7/4 = −2 + 1/4 = −1,75: Starte bei −2 und gehe ein Viertel der Einheit nach rechts.
Welche Liste ordnet 2/5, −3/5, −3/2 und −7/5 aufsteigend, vom kleinsten zum größten?
- a) −3/5 < −7/5 < −3/2 < 2/5
- b) −3/2 < −7/5 < −3/5 < 2/5
- c) 2/5 < −3/5 < −7/5 < −3/2
- d) −7/5 < −3/2 < −3/5 < 2/5
Richtige Antwort: b) −3/2 < −7/5 < −3/5 < 2/5 — Ja: −1,5 < −1,4 < −0,6 < 0,4. Die negativen Zahlen kommen zuerst, und die am weitesten von 0 entfernte ist die kleinste.
Welche Zahl ist größer: −5/6 oder −3/4?
- a) −3/4, weil es näher bei 0 liegt (−9/12 liegt rechts von −10/12).
- b) −5/6, weil 5/6 größer als 3/4 ist.
- c) Sie sind gleich, weil bei beiden der Nenner um 1 größer als der Zähler ist.
- d) Das lässt sich nicht entscheiden, weil die Nenner verschieden sind.
Richtige Antwort: a) −3/4, weil es näher bei 0 liegt (−9/12 liegt rechts von −10/12). — Ja. Mit dem Nenner 12 ist −5/6 = −10/12 und −3/4 = −9/12. Auf der Geraden liegt −9/12 rechts von −10/12, also ist −3/4 größer.
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