Mathematik Klasse 6: Gleiche Chancen, gleiche Wahrscheinlichkeiten
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Nicht jede Zufallssituation hat gleich mögliche Ergebnisse; wenn ja, sind ihre Wahrscheinlichkeiten gleich, und ein Experiment hilft beim Entscheiden.
Gleiche Chancen
In einer Zufallssituation kennst du das Ergebnis nicht, bevor es eintritt. Manchmal ist es vernünftig anzunehmen, dass alle Ergebnisse die gleiche Chance haben: eine ausgewogene Münze, ein ausgewogener Würfel, gleiche Zettel, gut gemischt in einem Hut. Dann sind ihre Wahrscheinlichkeiten gleich. In anderen Situationen ist es nicht so: eine in die Luft geworfene Reißzwecke, das Wetter von morgen, der Ausgang eines Spiels. Um zu entscheiden, frag dich, ob es einen Grund gibt, dass ein Ergebnis bevorzugt wird.
Warum Symmetrie zählt
Eine ausgewogene Münze bevorzugt keine Seite: Sie sind gleich, und der Wurf geschieht zufällig, deshalb nehmen wir gleiche Chancen an. Wer wirft, ändert nichts: Die Wahrscheinlichkeit hängt nicht davon ab, ob Rui oder Rita würfelt. Eine Reißzwecke ist anders: Spitze und Kopf sind nicht symmetrisch. Wenn man es nicht weiß, probiert man aus: Man wiederholt oft und sieht nach, ob die relativen Häufigkeiten nah beieinander liegen. So entscheidet man, ob ein Spiel fair ist.
Eine Münze und eine Reißzwecke
Du hast eine Münze 100-mal geworfen: 52-mal Kopf und 48-mal Zahl. Relative Häufigkeiten: 52/100 = 52% und 48/100 = 48%, sehr nah beieinander. Das stützt gleiche Chancen: Die Wahrscheinlichkeiten für Kopf und Zahl sind gleich, auch wenn die Anzahlen es nicht sind. Dann hast du eine Reißzwecke 100-mal geworfen: 63-mal Spitze nach oben und 37-mal Spitze nach unten, also 63% und 37%. Ein Unterschied von 26 Punkten ist groß: Gleiche Chancen anzunehmen ist nicht vernünftig.
Zwei Ergebnisse sind nicht „fifty-fifty“
Viele denken: Es gibt zwei Ergebnisse, also hat jedes 50%. Doch „gleiche Chancen“ gilt nur, wenn es keinen Grund gibt, eines zu bevorzugen. Beim Würfel sind „eine 6 würfeln“ und „keine 6 würfeln“ zwei Ergebnisse, aber „6“ ist eine Seite und „keine 6“ sind fünf: Sie haben nicht gleiche Chancen. Ein Spiel zu gewinnen oder zu verlieren, Regen oder kein Regen, sind auch nicht gleich möglich, nur weil es zwei sind. Bevor du „gleich“ sagst, frag: Was macht sie gleich möglich?
Faire Spiele und Auslosungen
Mit einer Münze auszulosen, wer anfängt, funktioniert, weil Kopf und Zahl gleiche Chancen haben: Niemand wird bevorzugt. Dasselbe gilt für den Würfel eines Brettspiels oder für das Ziehen von Namen, wenn die Zettel gleich sind und gut gemischt. Wer ein Spiel entwirft, fragt, ob die Ergebnisse gleiche Chancen haben; wer spielt, kann es mit einem Experiment prüfen. Hat ein Glücksrad ungleiche Felder, ist es nicht mehr fair.
Teste, was du gelernt hast
Bei einem ausgewogenen Würfel haben die Seiten 2 und 5 gleiche Chancen. Was lässt sich über ihre Wahrscheinlichkeiten sagen?
- a) Die Wahrscheinlichkeit der 5 ist größer, weil 5 größer ist als 2
- b) Die Wahrscheinlichkeit der 2 ist größer, weil kleine Zahlen öfter fallen
- c) Sie sind gleich
- d) Man kann sie nicht vergleichen, ohne den Würfel oft zu werfen
Richtige Antwort: c) Sie sind gleich — Ja: Haben zwei Ergebnisse gleiche Chancen, sind ihre Wahrscheinlichkeiten gleich.
Eine Reißzwecke wurde 100-mal geworfen: 65-mal Spitze nach oben und 35-mal Spitze nach unten. Welcher Schluss ist vernünftiger?
- a) Gleiche Chancen, weil es zwei Ergebnisse gibt
- b) Gleiche Chancen, weil 65 + 35 = 100
- c) Über eine Reißzwecke lässt sich nichts sagen
- d) Gleiche Chancen anzunehmen ist nicht vernünftig: 65% und 35% liegen weit von je 50% entfernt
Richtige Antwort: d) Gleiche Chancen anzunehmen ist nicht vernünftig: 65% und 35% liegen weit von je 50% entfernt — Richtig: 65/100 = 65% und 35/100 = 35%, ein Unterschied von 30 Punkten; Spitze nach oben scheint klar bevorzugt.
Ein ausgewogener Würfel wird geworfen. „Eine 6 würfeln“ und „keine 6 würfeln“ sind zwei Ergebnisse. Haben sie gleiche Chancen?
- a) Nein: „6“ ist eine Seite und „keine 6“ sind fünf Seiten
- b) Ja: Es gibt zwei Ergebnisse, also je 50%
- c) Ja: Ein ausgewogener Würfel gibt allem gleiche Chancen
- d) Es hängt davon ab, wer würfelt
Richtige Antwort: a) Nein: „6“ ist eine Seite und „keine 6“ sind fünf Seiten — Richtig: Die sechs Seiten sind gleich möglich, aber die beiden Ergebnisse bestehen aus verschieden vielen Seiten.
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