Mathematik Klasse 6: Die Modalklasse und die Wahl des Kennwerts
Mathematik, Klasse 6 (Portugal): Sind die Daten in Klassen gefasst, wird aus dem Modus die Modalklasse, und die Art der Daten entscheidet, welches Maß ehrlich ist.
Vom Modus zur Modalklasse
Sind die Daten einzelne Zahlen, ist der Modus der Wert, der am häufigsten vorkommt. Sind sie aber stetig (Größen, Gewichte, Zeiten) und in Klassen zusammengefasst, kennst du den genauen Wert jedes Einzelnen nicht mehr. Dann nennt man die Modalklasse: die Klasse mit der größten Häufigkeit. Bei Gleichstand kann es zwei oder mehr geben. Jede Art von Daten hat ihr Maß: Kategorien haben nur einen Modus; Zahlen haben Modus und Mittelwert; Daten in Klassen haben eine Modalklasse.
Wählen heißt entscheiden, was man zeigt
Daten zusammenzufassen heißt, zu wählen, was man zeigt und was man verbirgt – die Wahl muss also überlegt sein. Der Mittelwert fasst alle Werte in einem zusammen, lässt sich aber von Werten weit weg von den anderen mitziehen. Modus und Modalklasse zeigen, wo die meisten Daten liegen, sagen aber nichts über die übrigen. Frag dich also: Welche Art von Daten sind es? Gibt es Ausreißer? Was will ich wissen? Oft sagen zwei Maße zusammen mehr als eines.
Die Bäume eines Parks
In einer Tabelle sind die Höhen von 30 Bäumen eines Parks gruppiert: [2, 4[ hat 3; [4, 6[ hat 5; [6, 8[ hat 12; [8, 10[ hat 7; [10, 12[ hat 3. Das Symbol [6, 8[ bedeutet „von 6 m einschließlich bis 8 m ausschließlich“. Schritt 1: Summe prüfen: 3 + 5 + 12 + 7 + 3 = 30. Schritt 2: Die größte Häufigkeit ist 12, also ist die Modalklasse [6, 8[. Schritt 3: deuten: Keine andere Klasse hat so viele Bäume; 12 von 30 sind 40%. Da es nur Klassen gibt, ist jede Höhe unbekannt: Das Maß, das du angeben kannst, ist die Modalklasse.
Die Modalklasse ist nicht „die Mehrheit“
Bei den Bäumen ist die Modalklasse [6, 8[ mit 12 Bäumen. Fehler 1: zu sagen, die Modalklasse sei 12. Aber 12 ist die Häufigkeit; die Modalklasse ist [6, 8[. Fehler 2: zu sagen, „die meisten Bäume sind 6 bis 8 m hoch“. Mehrheit heißt mehr als die Hälfte, und die Hälfte von 30 ist 15; 12 sind nur 40%. Die Modalklasse ist die häufigste; sie muss nicht mehr als die Hälfte der Daten enthalten. Sag „das ist die Klasse mit den meisten Bäumen“ und prüfe es mit dem Prozentsatz.
Fragen „welches Maß?“
Liest du „die durchschnittliche Wartezeit beträgt 15 Minuten“, frag, auf welche Daten sich das bezieht und ob einzelne Werte weit von den übrigen entfernt liegen. Wer entscheidet, wo in einer Kantine mehr Tische stehen oder wie viele Plätze ein Bus braucht, will wissen, wo die meisten Fälle liegen (Modus oder Modalklasse), nicht nur den Mittelwert. Und in einem Brief an die Schulleitung wählt man die Maße, die das Argument stützen, ohne den Rest der Daten zu verbergen.
Teste, was du gelernt hast
Eine Tabelle zeigt die Höhen von 30 Bäumen, in Klassen gruppiert, mit den Häufigkeiten. Welches Kennmaß lässt sich daraus direkt ablesen?
- a) Der Mittelwert der Höhen
- b) Die Modalklasse
- c) Die genaue Höhe, die am häufigsten vorkommt
- d) Die größte Häufigkeit, als wäre sie der Modus
Richtige Antwort: b) Die Modalklasse — Ja: Die Modalklasse ist die Klasse mit der größten Häufigkeit und lässt sich direkt aus der Tabelle ablesen.
Die Tabelle zeigt die tägliche Lesezeit von 25 Schülern: [0, 10[ min hat 4; [10, 20[ hat 9; [20, 30[ hat 9; [30, 40[ hat 3. Welche Klasse ist die Modalklasse?
- a) [10, 20[ und [20, 30[
- b) Nur [10, 20[, weil sie zuerst kommt
- c) 9
- d) Es gibt keine Modalklasse, weil zwei Klassen gleichauf liegen
Richtige Antwort: a) [10, 20[ und [20, 30[ — Beide Klassen haben die größte Häufigkeit, 9, und liegen gleichauf: Es gibt zwei Modalklassen.
Fünfzig Schüler gaben ihre Fahrzeit zur Schule an: [0, 10[ min hat 18; [10, 20[ hat 15; [20, 30[ hat 11; [30, 40[ hat 6. Welche Aussage stimmt?
- a) Die Mehrheit der Schüler braucht weniger als 10 Minuten
- b) Die Modalklasse ist 18
- c) Die Modalklasse ist [10, 20[, die mittlere
- d) Die Modalklasse ist [0, 10[, aber 18 von 50 (36%) sind weniger als die Hälfte der Schüler
Richtige Antwort: d) Die Modalklasse ist [0, 10[, aber 18 von 50 (36%) sind weniger als die Hälfte der Schüler — Richtig: 18 ist die größte Häufigkeit, also ist [0, 10[ modal, und 18 ÷ 50 = 36% erreichen die Hälfte nicht.
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